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Quadratzahlen verstehen, erkennen und berechnen
Eine Quadratzahl entsteht, wenn du eine ganze Zahl mit sich selbst multiplizierst. Für eine ganze Zahl $n$ gilt:
$$n^2=n\cdot n$$
Zum Beispiel ist $6^2=6\cdot6=36$. Auf dieser Seite lernst du, Quadratzahlen zu berechnen, typische Quadratzahlen wiederzuerkennen und wichtige Eigenschaften zum Prüfen zu nutzen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was macht eine Zahl zur Quadratzahl?
Stell dir ein quadratisches Punktefeld mit sechs Reihen und sechs Punkten je Reihe vor. Es enthält $6\cdot6=36$ Punkte. Deshalb heißt 36 eine Quadratzahl.
Quadratzahl
Eine Zahl heißt Quadratzahl, wenn sie als Produkt zweier gleicher ganzer Zahlen geschrieben werden kann: $n^2=n\cdot n$.
Auch $0^2=0$. Negative Zahlen liefern beim Quadrieren dasselbe Ergebnis wie die zugehörigen positiven Zahlen:
$$(-5)^2=(-5)\cdot(-5)=25=5^2$$
Ob eine Liste der natürlichen Quadratzahlen mit 0 oder mit 1 beginnt, hängt von der verwendeten Konvention für natürliche Zahlen ab. Die Rechnung $0^2=0$ bleibt davon unberührt.
Verwechsle Quadrieren nicht mit Verdoppeln:
- $3^2=3\cdot3=9$ bedeutet „drei zum Quadrat“.
- $2\cdot3=3+3=6$ bedeutet „das Doppelte von drei“.
Wie berechnest du Quadratzahlen?
Die Quadratzahlen von $0^2$ bis $10^2$ begegnen dir besonders häufig:
| $n$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $n^2$ | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
Auch die nächsten zehn sind nützlich:
| $n$ | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $n^2$ | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 | 400 |
Beispiel: direkt multiplizieren
Gesucht ist $12^2$.
Das hochgestellte 2 sagt, dass 12 zweimal als Faktor vorkommt:
$$12^2=12\cdot12=144$$
Also ist 144 die zwölfte Quadratzahl, wenn die Reihe mit $1^2$ gezählt wird.
Beispiel: eine größere Zahl zerlegen
Mit der binomischen Formel
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
kannst du 34 in 30 und 4 zerlegen:
$$34^2=(30+4)^2$$
$$34^2=30^2+2\cdot30\cdot4+4^2$$
$$34^2=900+240+16=1156$$
Die Zerlegung hilft, weil sich $30^2$ und $4^2$ leicht berechnen lassen. Der Mittelterm $2\cdot30\cdot4$ darf nicht fehlen.
Für Zahlen mit der Endziffer 5 gibt es einen kurzen Rechenweg. Bei $15^2$ multiplizierst du die Zehnerzahl 1 mit ihrem Nachfolger 2 und hängst 25 an:
$$1\cdot2=2,\qquad 15^2=225$$
Woran erkennst du mögliche Quadratzahlen?
Die Endziffer liefert einen schnellen Ausschluss
Eine Quadratzahl kann im Dezimalsystem nur auf 0, 1, 4, 5, 6 oder 9 enden. Endet eine Zahl auf 2, 3, 7 oder 8, ist sie sicher keine Quadratzahl.
Die Endziffer kann eine Zahl sicher ausschließen. Sie kann aber nicht allein beweisen, dass eine Zahl eine Quadratzahl ist.
2648 endet auf 8 und ist deshalb keine Quadratzahl. Dagegen endet 26 auf einer erlaubten Ziffer, ist aber trotzdem keine Quadratzahl.
Die Primfaktorzerlegung entscheidet genau
Jede positive ganze Zahl größer als 1 lässt sich in Primfaktoren zerlegen. Eine solche Zahl ist genau dann eine Quadratzahl, wenn jeder Primfaktor mit einem geraden Exponenten vorkommt.
Für 144 gilt:
$$144=2^4\cdot3^2$$
Die Exponenten 4 und 2 sind beide gerade. Daher ist 144 eine Quadratzahl:
$$144=12^2$$
Für 90 gilt dagegen:
$$90=2^1\cdot3^2\cdot5^1$$
Die Exponenten von 2 und 5 sind ungerade. Deshalb ist 90 keine Quadratzahl.
Auch die positiven Teiler liefern ein Kennzeichen: Genau die positiven Quadratzahlen besitzen eine ungerade Anzahl positiver Teiler. Bei 36 sind es neun:
$$1,2,3,4,6,9,12,18,36$$
Welche Muster verbinden Quadratzahlen?
Aufeinanderfolgende Quadratzahlen unterscheiden sich immer um eine ungerade Zahl. Denn:
$$(n+1)^2-n^2=2n+1$$
Zum Beispiel folgt nach $6^2=36$ die Zahl $7^2=49$. Der Abstand beträgt $49-36=13$, und 13 ist ungerade.
Darum kannst du Quadratzahlen auch als Summe aufeinanderfolgender ungerader Zahlen darstellen:
$$n^2=1+3+5+\dots+(2n-1)$$
Für $9^2$ addierst du die ersten neun ungeraden Zahlen:
$$1+3+5+7+9+11+13+15+17=81$$
Also gilt $9^2=81$.
Eine weitere Darstellung nutzt die Summe der natürlichen Zahlen vor $n$:
$$n^2=2(1+2+\dots+(n-1))+n$$
Für $n=9$ erhältst du:
$$2(1+2+3+4+5+6+7+8)+9=2\cdot36+9=81$$
Vertiefung: zwei Dreieckszahlen
Die Summe $1+2+\dots+n$ heißt Dreieckszahl und wird mit $D_n$ bezeichnet:
$$D_n=\frac{n(n+1)}2$$
Jede positive Quadratzahl ist die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen:
$$n^2=D_{n-1}+D_n$$
Für $n=6$ gilt:
$$D_5+D_6=\frac{5\cdot6}{2}+\frac{6\cdot7}{2}=15+21=36$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Quadratzahlen
- entstehen durch $n\cdot n$
- lassen sich als quadratische Punktefelder darstellen
- können auf 0, 1, 4, 5, 6 oder 9 enden
- besitzen in der Primfaktorzerlegung nur gerade Exponenten
- haben Abstände von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen
- sind Summen der ersten $n$ ungeraden Zahlen
Abschluss-Check
Prüfe zum Schluss ohne Tabelle: $11^2=121$, $12^2=144$ und der Abstand zwischen beiden Ergebnissen ist $23$. Das passt zur Regel $2\cdot11+1=23$.