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Quadratzahlen verstehen, erkennen und berechnen
Was ist eine Quadratzahl? Eine Quadratzahl entsteht, wenn du eine ganze Zahl mit sich selbst multiplizierst. Für eine ganze Zahl $n$ gilt:
$$n^2=n\cdot n$$
Zum Beispiel ist $6^2=6\cdot6=36$. Für den Einstieg reichen das Einmaleins und die Tabellen. Die Abschnitte mit Formeln und Primfaktoren sind für dich gedacht, wenn du schon mit Potenzen und Variablen rechnest. Ein Buchstabe wie $n$ steht dabei für eine Zahl.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was macht eine Zahl zur Quadratzahl?
Stell dir ein quadratisches Punktefeld mit sechs Reihen und sechs Punkten je Reihe vor. Es enthält $6\cdot6=36$ Punkte. Deshalb heißt 36 eine Quadratzahl.
Quadratzahl
Eine Zahl heißt Quadratzahl, wenn sie als Produkt zweier gleicher ganzer Zahlen geschrieben werden kann: $n^2=n\cdot n$.
Auch $0^2=0$ zählt hier dazu. Ganze Zahlen sind die Zahlen $0,1,2,\dots$ und ihre negativen Gegenstücke $-1,-2,\dots$. Wenn du schon mit negativen Zahlen rechnest: Sie liefern beim Quadrieren dasselbe Ergebnis wie die zugehörigen positiven Zahlen:
$$(-5)^2=(-5)\cdot(-5)=25=5^2$$
Quadratzahlen sind daher nie negativ. Manche Tabellen beginnen erst mit $1^2$.
Verwechsle Quadrieren nicht mit Verdoppeln:
- $3^2=3\cdot3=9$ bedeutet „drei zum Quadrat“.
- $2\cdot3=3+3=6$ bedeutet „das Doppelte von drei“.
Wie berechnest du Quadratzahlen?
Die Quadratzahlen von $0^2$ bis $10^2$ begegnen dir besonders häufig:
| $n$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $n^2$ | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
Auch die nächsten zehn sind nützlich:
| $n$ | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $n^2$ | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 | 400 |
Beispiel: direkt multiplizieren
Gesucht ist $12^2$.
Das hochgestellte 2 sagt, dass 12 zweimal als Faktor vorkommt:
$$12^2=12\cdot12=144$$
Also ist 144 die zwölfte Quadratzahl, wenn die Reihe mit $1^2$ gezählt wird.
Für Fortgeschrittene: eine größere Zahl zerlegen
Mit der binomischen Formel
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
kannst du 34 in 30 und 4 zerlegen. Die Formel entsteht durch Ausmultiplizieren: $(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2$. Dabei steht $ab$ für $a\cdot b$.
$$34^2=(30+4)^2$$
$$34^2=30^2+2\cdot30\cdot4+4^2$$
$$34^2=900+240+16=1156$$
Die Zerlegung hilft, weil sich $30^2$ und $4^2$ leicht berechnen lassen. Der Mittelterm $2\cdot30\cdot4$ darf nicht fehlen.
Für positive ganze Zahlen mit der Endziffer 5 gibt es einen kurzen Rechenweg: Lass die letzte 5 weg, multipliziere die verbleibende Zahl mit ihrem Nachfolger und hänge 25 an das Ergebnis an. Bei $15^2$ bleibt die 1 übrig:
$$1\cdot2=2,\qquad 15^2=225$$
Der Grund ist $(10a+5)^2=100a(a+1)+25$. Für $5^2$ ist $a=0$; du erhältst $25$.
Woran erkennst du mögliche Quadratzahlen?
Die Endziffer liefert einen schnellen Ausschluss
Eine Quadratzahl kann im Dezimalsystem nur auf 0, 1, 4, 5, 6 oder 9 enden. Endet eine Zahl auf 2, 3, 7 oder 8, ist sie sicher keine Quadratzahl.
Die Endziffer kann eine Zahl sicher ausschließen. Sie kann aber nicht allein beweisen, dass eine Zahl eine Quadratzahl ist.
Die Endziffer des Quadrats hängt nur von der Endziffer der Ausgangszahl ab. Du kannst die möglichen Endziffern deshalb an den Quadraten von 0 bis 9 in der Tabelle ablesen.
2648 endet auf 8 und ist deshalb keine Quadratzahl. Dagegen endet 26 auf einer erlaubten Ziffer, liegt aber zwischen $5^2=25$ und $6^2=36$ und ist deshalb keine Quadratzahl.
Für Fortgeschrittene: die Primfaktorzerlegung
Eine Primzahl hat genau zwei positive Teiler: 1 und sich selbst. Beispiele sind 2, 3 und 5. Bei einer Primfaktorzerlegung schreibst du eine Zahl als Produkt von Primzahlen. Die hochgestellte Zahl, der Exponent, gibt an, wie oft ein Faktor vorkommt: $2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2$. Jede positive ganze Zahl größer als 1 lässt sich so zerlegen. Eine solche Zahl ist genau dann eine Quadratzahl, wenn jeder Primfaktor mit einem geraden Exponenten vorkommt.
Denn beim Quadrieren kommt jeder Primfaktor doppelt so oft vor. Umgekehrt kannst du bei geraden Exponenten die Faktoren in zwei gleiche Gruppen aufteilen.
Für 144 gilt:
$$144=2^4\cdot3^2$$
Die Exponenten 4 und 2 sind beide gerade. Daher ist 144 eine Quadratzahl:
$$144=12^2$$
Für 90 gilt dagegen:
$$90=2^1\cdot3^2\cdot5^1$$
Die Exponenten von 2 und 5 sind ungerade. Deshalb ist 90 keine Quadratzahl.
Ein positiver Teiler ist eine positive ganze Zahl, durch die du ohne Rest teilen kannst. Auch die positiven Teiler liefern ein Kennzeichen: Genau die positiven Quadratzahlen besitzen eine ungerade Anzahl positiver Teiler. Bei 36 sind es neun:
$$1,2,3,4,6,9,12,18,36$$
Teiler treten paarweise auf: $1\cdot36$, $2\cdot18$, $3\cdot12$ und $4\cdot9$. Nur bei einer Quadratzahl bleibt ein Teiler ohne verschiedenen Partner: hier die 6, weil $6\cdot6=36$. Daher ist die Anzahl ungerade.
Welche Muster verbinden Quadratzahlen?
Hier betrachten wir $n=0,1,2,\dots$. Aufeinanderfolgende Quadratzahlen unterscheiden sich immer um eine ungerade Zahl. Denn:
$$(n+1)^2-n^2=2n+1$$
Zum Beispiel folgt nach $6^2=36$ die Zahl $7^2=49$. Der Abstand beträgt $49-36=13$, und 13 ist ungerade.
Beginnst du bei $0^2=0$ und addierst nacheinander $1,3,5,\dots$, erreichst du so jedes nächste Quadrat. Für positive ganze Zahlen $n$ gilt deshalb:
$$n^2=1+3+5+\dots+(2n-1)$$
Für $9^2$ addierst du die ersten neun ungeraden Zahlen:
$$1+3+5+7+9+11+13+15+17=81$$
Also gilt $9^2=81$.
Eine weitere Darstellung nutzt für $n\geq2$ die Summe der natürlichen Zahlen vor $n$:
$$n^2=2(1+2+\dots+(n-1))+n$$
Für $n=9$ erhältst du:
$$2(1+2+3+4+5+6+7+8)+9=2\cdot36+9=81$$
Vertiefung: zwei Dreieckszahlen
Für positive ganze Zahlen $n$ heißt die Summe $1+2+\dots+n$ Dreieckszahl und wird mit $D_n$ bezeichnet:
$$D_n=\frac{n(n+1)}2$$
Schreibst du die Summe einmal vorwärts und einmal rückwärts untereinander, ergeben die $n$ Paare jeweils $n+1$. Die doppelte Summe ist also $n(n+1)$. Außerdem setzen wir $D_0=0$.
Jede positive Quadratzahl ist die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen:
$$n^2=D_{n-1}+D_n$$
Denn $\frac{(n-1)n}{2}+\frac{n(n+1)}2=\frac{n\cdot2n}{2}=n^2$.
Für $n=6$ gilt:
$$D_5+D_6=\frac{5\cdot6}{2}+\frac{6\cdot7}{2}=15+21=36$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Quadratzahlen
- entstehen durch $n\cdot n$
- lassen sich als quadratische Punktefelder darstellen
- können auf 0, 1, 4, 5, 6 oder 9 enden
- haben für Werte größer als 1 nur gerade Exponenten in der Primfaktorzerlegung
- haben Abstände von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen
- sind Summen der ersten $n$ ungeraden Zahlen
Abschluss-Check
Prüfe zum Schluss ohne Tabelle: $11^2=121$, $12^2=144$ und der Abstand zwischen beiden Ergebnissen ist $23$. Das passt zur Regel $2\cdot11+1=23$.