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Potenzen verstehen und sicher berechnen
Eine Potenz ist eine kurze Schreibweise für die wiederholte Multiplikation desselben Faktors. Bei $2^3=8$ ist $2$ die Basis, $3$ der Exponent und $8$ der Potenzwert. Du lernst hier, Potenzen zu lesen, sicher zu berechnen und mit Potenzgesetzen zu vereinfachen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
So liest und berechnest du eine Potenz
In $a^n$ heißt $a$ Basis und $n$ Exponent oder Hochzahl. Für einen positiven ganzen Exponenten zeigt $n$, wie oft die Basis als Faktor vorkommt.
Potenz
Eine Potenz ist ein Ausdruck aus Basis und Exponent. Beim Potenzieren berechnest du ihren Wert. Für positive ganze Exponenten gilt:
$$a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\text{ Faktoren}}$$
Berechne $3^4$.
- Die Basis ist $3$ und der Exponent ist $4$.
- Deshalb tritt die $3$ viermal als Faktor auf.
- $3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81$.
Der Potenzwert ist also $81$.
Verwechsle Potenzieren nicht mit Multiplizieren: $3^4$ bedeutet nicht $3\cdot4$, sondern $3\cdot3\cdot3\cdot3$.
Vorzeichen, Klammern und besondere Exponenten
Bei einer negativen Basis entscheidet der Exponent über das Vorzeichen:
- Ein gerader Exponent ergibt einen positiven Potenzwert.
- Ein ungerader Exponent ergibt einen negativen Potenzwert.
Der Grund: Je zwei negative Faktoren ergeben beim Multiplizieren einen positiven Faktor.
Vergleiche $(-2)^4$ und $(-2)^3$.
$$(-2)^4=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=16$$
$$(-2)^3=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=-8$$
Vier negative Faktoren lassen sich zu zwei positiven Paaren verbinden. Bei drei Faktoren bleibt nach einem positiven Paar ein negativer Faktor übrig.
Klammern bestimmen, was zur Basis gehört:
- Bei $(-2)^4$ ist die Basis $-2$. Das Ergebnis ist $16$.
- Bei $-2^4$ wird nur die $2$ potenziert; das Minus steht vor der Potenz. Daher ist $-2^4=-(2^4)=-16$.
Frage zuerst: Was gehört zur Basis? Eine Klammer kann das Minuszeichen oder einen ganzen Bruch in die Basis einschließen.
Für besondere Exponenten gelten:
- $a^1=a$
- $a^0=1$ für $a\ne0$
Der Ausdruck $0^0$ ist ein Sonderfall und wird je nach mathematischem Zusammenhang unterschiedlich behandelt. In diesem Lernweg verwenden wir die Null-Exponent-Regel deshalb nur für Basen ungleich null.
Negative Exponenten bedeuten Kehrwerte
Ein negativer Exponent bedeutet nicht, dass der Potenzwert negativ sein muss. Er zeigt, dass du den Kehrwert der entsprechenden Potenz mit positivem Exponenten bildest.
Negativer Exponent
Für $a\ne0$ und eine positive ganze Zahl $n$ gilt:
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$
Die Basis darf nicht null sein, weil eine Division durch null nicht möglich ist.
Berechne $2^{-3}$.
- Der negative Exponent verlangt den Kehrwert.
- Ändere den Exponenten im Nenner zu $3$: $2^{-3}=\frac{1}{2^3}$.
- Berechne $2^3=8$.
Damit ist $2^{-3}=\frac18$.
Bei einer Zehnerpotenz verschiebt ein negativer Exponent den Wert unter $1$: $10^{-3}=\frac{1}{1000}=0{,}001$.
Mit Potenzgesetzen geschickt rechnen
Potenzgesetze helfen dir, passende Potenzen zusammenzufassen. Achte zuerst darauf, ob die Basis oder der Exponent gleich ist. Die folgenden Regeln gelten für ganzzahlige Exponenten. Sobald ein negativer Exponent vorkommt, muss die zugehörige Basis ungleich null sein. Bei einer Division darf außerdem der Divisor nie null sein.
Gleiche Basis
Für $a\ne0$ gilt bei einer Division:
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$
$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$
Beim Multiplizieren werden alle gleichen Basisfaktoren zusammengezählt. Beim Dividieren kürzen sich gleiche Faktoren; deshalb werden die Exponenten subtrahiert.
Gleicher Exponent
Für einen ganzzahligen Exponenten $n$ gilt:
$$a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$$
$$\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n$$
Bei der Division muss $b\ne0$ sein. Ist $n$ negativ, müssen auch beim Multiplizieren beide Basen ungleich null sein.
Potenz einer Potenz
$$\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$$
Hier wird die Potenz $a^m$ insgesamt $n$-mal als Faktor verwendet. Daher wird der Exponent $m$ ebenfalls $n$-mal gezählt. Bei negativen Exponenten muss $a\ne0$ sein.
Vereinfache $2^3\cdot2^4$.
Die Basis $2$ ist gleich. Deshalb addierst du die Exponenten:
$$2^3\cdot2^4=2^{3+4}=2^7=128$$
Vereinfache nun $(3^2)^3$.
Eine Potenz wird erneut potenziert. Deshalb multiplizierst du die Exponenten:
$$(3^2)^3=3^{2\cdot3}=3^6=729$$
- Gleiche Basis beim Multiplizieren: Exponenten addieren.
- Gleiche Basis beim Dividieren: Exponenten subtrahieren.
- Potenz einer Potenz: Exponenten multiplizieren.
- Gleicher Exponent: Basen in einer Klammer zusammenfassen.
So vermeidest du typische Fehler
Gehe bei einem Potenzausdruck in dieser Reihenfolge vor:
- Bestimme die vollständige Basis. Beachte Klammern.
- Prüfe den Exponenten: positiv, null oder negativ?
- Entscheide, ob du die Potenz berechnest oder ein Potenzgesetz nutzt.
- Prüfe Vorzeichen und Plausibilität des Ergebnisses.
Vereinfache und berechne $\frac{2^3\cdot2^2}{2^4}$.
Alle Potenzen haben dieselbe Basis. Beim Multiplizieren addierst und beim Dividieren subtrahierst du die Exponenten:
$$\frac{2^3\cdot2^2}{2^4}=2^{3+2-4}=2^1=2$$
Die ausgeschriebene Kontrolle bestätigt das Ergebnis:
$$\frac{(2\cdot2\cdot2)\cdot(2\cdot2)}{2\cdot2\cdot2\cdot2}=2$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
In $9^3$ ist 9 die und 3 der . Bei $(-4)^6$ ist der Potenzwert , weil 6 gerade ist. Der Ausdruck $3^{-2}$ ist gleich . Bei $2^4\cdot2^3$ werden die Exponenten .
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Potenzen
- Bestandteile: Basis, Exponent und Potenzwert
- Sicher deuten: Klammern, Vorzeichen und Sonderexponenten
- Gleiche Basis: Exponenten addieren oder subtrahieren
- Gleicher Exponent: Basen zusammenfassen
- Potenz einer Potenz: Exponenten multiplizieren
- Kontrolle: ausschreiben, Kehrwert bilden und Ergebnis prüfen
Abschluss-Check
Du bist sicher, wenn du zuerst Basis und Exponent bestimmst, danach das passende Gesetz wählst und zuletzt Vorzeichen sowie Ergebnis prüfst.