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Negative Exponenten verstehen und sicher berechnen
Ein negativer Exponent bedeutet: Bilde den Kehrwert und mache den Exponenten positiv. Deshalb gilt für jede Basis $a \neq 0$ und jede positive natürliche Zahl $n$:
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$
Auf dieser Seite lernst du, warum diese Regel gilt, wie du negative Potenzen berechnest und wie du die Potenzgesetze mit ganzzahligen Exponenten anwendest.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum entsteht ein negativer Exponent?
Betrachte einen Quotienten mit gleicher Basis:
$$\frac{2^2}{2^6}$$
Nach dem Potenzgesetz für die Division werden die Exponenten subtrahiert:
$$\frac{2^2}{2^6}=2^{2-6}=2^{-4}$$
Schreibst du die Potenzen als Produkte aus und kürzt, erhältst du:
$$\frac{2\cdot2}{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}$$
Beide Wege müssen denselben Wert ergeben. Daher bedeutet $2^{-4}$ genau dasselbe wie $\frac{1}{2^4}$.
Kehrwert
Der Kehrwert einer von null verschiedenen Zahl entsteht, wenn du Zähler und Nenner vertauschst. Der Kehrwert von $a$ ist $\frac{1}{a}$, der Kehrwert von $\frac{3}{5}$ ist $\frac{5}{3}$.
Ein Minus im Exponenten verlangt eine Kehrwertbildung. Es macht den Wert der Potenz nicht einfach negativ.
Warum muss $a \neq 0$ gelten? Bei einem negativen Exponenten würde $0$ im Nenner stehen. Eine Division durch null ist nicht definiert.
Der Exponent $0$ passt ebenfalls zur Divisionsregel. Für $a \neq 0$ gilt:
$$\frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0=1$$
Wie wandelst du eine negative Potenz um?
Gehe in drei Schritten vor:
- Prüfe, ob der Exponent negativ ist.
- Bilde den Kehrwert der Potenz.
- Schreibe den Exponenten positiv und berechne bei Bedarf den Nenner.
Berechne $6^{-3}$.
Schritt 1: Der Exponent $-3$ ist negativ.
Schritt 2: Bilde den Kehrwert und ändere $-3$ in $+3$.
$$6^{-3}=\frac{1}{6^3}$$
Schritt 3: Berechne die positive Potenz.
$$6^{-3}=\frac{1}{6\cdot6\cdot6}=\frac{1}{216}$$
Das Ergebnis ist plausibel: Der Kehrwert einer Zahl größer als $1$ liegt zwischen $0$ und $1$.
Für den Exponenten $-1$ ist der Rechenweg besonders kurz:
$$a^{-1}=\frac{1}{a}$$
Auch bei Zehnerpotenzen gilt dieselbe Regel:
$$10^{-4}=\frac{1}{10^4}=\frac{1}{10000}=0{,}0001$$
Wie gelten die Potenzgesetze weiter?
Die bekannten Potenzgesetze gelten auch für ganzzahlige Exponenten, sofern alle auftretenden Potenzen und Quotienten definiert sind. Bei einem negativen Exponenten darf die zugehörige Basis nicht null sein. Bei einer Division darf außerdem der Nenner nicht null sein.
Gleiche Basis multiplizieren
Bei gleicher Basis addierst du die Exponenten:
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$
Falls ein negativer Exponent vorkommt, gilt $a\neq0$.
$$4^7\cdot4^{-5}=4^{7+(-5)}=4^2=16$$
Das Minuszeichen gehört beim Addieren zur Zahl $-5$.
Gleiche Basis dividieren
Bei gleicher Basis subtrahierst du den Exponenten des Nenners. Dabei muss $a\neq0$ gelten:
$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$
$$\frac{2^4}{2^{-3}}=2^{4-(-3)}=2^{4+3}=2^7=128$$
Hier wird aus der Subtraktion einer negativen Zahl eine Addition.
Eine Potenz potenzieren
Beim Potenzieren einer Potenz multiplizierst du die Exponenten:
$$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$$
Falls einer der Exponenten negativ ist, gilt $a\neq0$.
$$(2^4)^{-3}=2^{4\cdot(-3)}=2^{-12}=\frac{1}{2^{12}}=\frac{1}{4096}$$
Wie vermeidest du typische Fehler?
Fehler 1: Minuszeichen und negativen Exponenten verwechseln
$$3^{-2}=\frac{1}{9}$$
Dagegen bedeutet
$$-3^2=-(3^2)=-9$$
Bei $3^{-2}$ ist der Exponent negativ. Bei $-3^2$ steht ein Minuszeichen vor der Potenz. Das sind verschiedene Ausdrücke.
Fehler 2: Die Basis beim Kehrwert falsch verändern
Richtig ist:
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$
Die Basis bleibt gleich. Das Minus wird weder an die Basis noch vor den Bruch verschoben.
Fehler 3: Minus minus bei der Division übersehen
Bei $\frac{a^m}{a^n}$ wird immer der gesamte Nennerexponent subtrahiert. Ist er negativ, brauchst du Klammern:
$$-5-(-7)=-5+7=2$$
Vertiefung: Potenzen mit gleichem Exponenten
Haben zwei Potenzen denselben Exponenten, kannst du ihre Basen zusammenfassen:
$$a^n\cdot b^n=(ab)^n$$
$$\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$$
Bei der Division muss $b\neq0$ gelten. Ist $n$ negativ, dürfen auch $a$ und die Basen der einzelnen Potenzen nicht null sein.
Vereinfache $\frac{4^{-3}}{20^{-3}}$.
Da beide Potenzen den Exponenten $-3$ haben, fasst du die Basen zusammen:
$$\frac{4^{-3}}{20^{-3}}=\left(\frac{4}{20}\right)^{-3}=\left(\frac{1}{5}\right)^{-3}$$
Der negative Exponent bildet den Kehrwert:
$$\left(\frac{1}{5}\right)^{-3}=5^3=125$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Potenzen mit negativen Exponenten
- Bedeutung
- Kehrwert bilden
- Exponenten positiv schreiben
- Voraussetzung
- Basis bei negativem Exponenten nicht null
- Nenner bei Division nicht null
- Ursprung
- Division gleicher Basen
- negative Exponentendifferenz
- Potenzgesetze
- bei Multiplikation addieren
- bei Division subtrahieren
- beim Potenzieren multiplizieren
- Kontrolle
- Vorzeichen prüfen
- Ergebnis auf Plausibilität prüfen
- Bedeutung
Abschluss-Check
Du bist sicher im Thema, wenn du bei jeder Aufgabe zuerst erkennst, welches Potenzgesetz passt, negative Exponenten korrekt als Kehrwerte deutest und dein Ergebnis auf Vorzeichen und Größe prüfst.