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Exponent einfach erklärt: Bedeutung und Beispiele
Ein Exponent ist die kleine Hochzahl in einer Potenz. Er zeigt, wie die Basis verwendet wird: Bei positiven ganzen Exponenten zählt er gleiche Faktoren, bei Exponent $0$ und einer von null verschiedenen Basis entsteht der Wert $1$, und bei negativen Exponenten führt er zum Kehrwert.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
So liest du einen Exponenten
In $a^n$ ist $a$ die Basis und $n$ der Exponent, auch Hochzahl genannt. Den Ausdruck $a^n$ liest du „$a$ hoch $n$“. Der ganze Ausdruck heißt Potenz; sein berechnetes Ergebnis heißt Potenzwert.
Bei $4^6=4096$ gilt:
- Basis: $4$
- Exponent: $6$
- Potenz: $4^6$
- Potenzwert: $4096$
Der Exponent ist also nicht das Ergebnis. Er beschreibt, was mit der Basis geschieht.
Positive ganze Exponenten zählen Faktoren
Für einen positiven ganzen Exponenten gibt die Hochzahl an, wie oft die Basis als Faktor vorkommt:
$$a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{ Faktoren}}$$
$2^3$ bedeutet:
$$2^3=2\cdot2\cdot2=8$$
Die Basis $2$ steht dreimal als Faktor da. Verwechsle das nicht mit $2\cdot3=6$: Potenzieren ist wiederholtes Multiplizieren, nicht Multiplizieren von Basis und Exponent.
Bei $a^n$ mit positivem ganzzahligem $n$ zählt der Exponent die Anzahl gleicher Faktoren. Die Basis wird nicht mit dem Exponenten multipliziert.
Was die Exponenten 1 und 0 bedeuten
Mit Exponent $1$ steht die Basis genau einmal:
$$a^1=a$$
Für jede Basis $a\neq0$ gilt außerdem:
$$a^0=1$$
Das passt zur Potenzfolge. Wenn du den Exponenten jeweils um $1$ verringerst, teilst du durch die Basis:
$$2^3=8,\quad 2^2=4,\quad 2^1=2,\quad 2^0=1$$
Der Ausdruck $0^0$ ist ein Sonderfall. Je nach mathematischem Zusammenhang wird er als $1$ festgelegt oder bleibt undefiniert. Deshalb folgt $0^0$ nicht einfach aus der Regel $a^0=1$ für $a\neq0$.
Negative Exponenten führen zum Kehrwert
Ein Minuszeichen im Exponenten bedeutet nicht, dass der Potenzwert negativ wird. Für $a\neq0$ und eine positive ganze Zahl $n$ gilt:
$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$
Du bildest also den Kehrwert der entsprechenden Potenz mit positivem Exponenten.
Berechne $2^{-3}$.
- Lass zunächst das Minus im Exponenten weg: $2^3=2\cdot2\cdot2=8$.
- Bilde den Kehrwert: $\frac{1}{8}$.
Damit ist:
$$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac18$$
Der Wert ist positiv. Das Minus im Exponenten fordert den Kehrwert.
Die Basis $0$ ist hier ausgeschlossen, denn ein Bruch mit Nenner $0$ ist nicht definiert.
Klammern bestimmen die Basis
Bei einer negativen Zahl musst du genau prüfen, ob das Minuszeichen zur Basis gehört.
- In $(-2)^4$ ist die Basis $-2$. Daher gilt $(-2)^4=16$.
- In $-2^4$ ist nur die $2$ die Basis. Zuerst entsteht $2^4=16$, danach wirkt das Minus: $-2^4=-16$.
Bei einer negativen Basis entscheidet ein positiver ganzer Exponent über das Vorzeichen:
- gerader Exponent: positiver Potenzwert;
- ungerader Exponent: negativer Potenzwert.
Vergleiche $(-2)^3$ und $-2^3$.
$$(-2)^3=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=-8$$
$$-2^3=-(2\cdot2\cdot2)=-8$$
Hier sind die Werte gleich. Bei geradem Exponenten unterscheiden sie sich dagegen, etwa $(-2)^4=16$ und $-2^4=-16$. Deshalb darfst du die Klammern nie ignorieren.
Vertiefung: Ein Bruch als Exponent
Für eine positive Basis verbindet ein rationaler Exponent Potenzieren und Wurzelziehen:
$$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\qquad(a>0)$$
Der Zähler $m$ wird zum Exponenten, der Nenner $n$ zum Wurzelindex. Zum Beispiel ist:
$$9^{1/2}=\sqrt{9}=3$$
Bei negativen Basen gelten zusätzliche Bedingungen. Die einfache Regel oben ist deshalb ausdrücklich für $a>0$ formuliert.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Exponent
- positive ganze Zahl: zählt gleiche Faktoren
- eins: lässt die Basis unverändert
- null: ergibt bei einer Basis ungleich null den Wert eins
- negative ganze Zahl: führt zum Kehrwert
- Bruch: verbindet Potenz und Wurzel
- Klammern: legen bei Minuszeichen die Basis fest
Frage dich bei jeder Potenz in dieser Reihenfolge:
- Was ist die Basis?
- Was ist der Exponent?
- Welche Bedeutung hat dieser Exponent?
- Gibt es eine Bedingung, etwa $a\neq0$?
- Ist das Ergebnis mit Blick auf Vorzeichen und Größe plausibel?