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Zehnerpotenzen einfach erklärt und anwenden
Zehnerpotenzen sind Potenzen mit der Basis 10. Mit ihnen kannst du sehr große und sehr kleine Zahlen kurz schreiben: $1\,000\,000=10^6$ und $0{,}001=10^{-3}$.
Auf dieser Seite lernst du, Zehnerpotenzen auszuwerten, Dezimalzahlen umzuwandeln und Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise zu vergleichen und zu berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet der Exponent?
Eine Zehnerpotenz hat die Form $10^n$. Die Basis ist 10. Der Exponent $n$ zeigt, auf welcher Stufe der Zahl steht.
Zehnerpotenz
Eine Zehnerpotenz ist eine Potenz mit der Basis 10 und einem ganzzahligen Exponenten, zum Beispiel $10^4$, $10^0$ oder $10^{-3}$.
Für einen positiven Exponenten wird die 10 wiederholt mit sich selbst multipliziert:
$$10^4=10\cdot10\cdot10\cdot10=10\,000$$
Der Exponent 0 bildet die Mitte:
$$10^0=1$$
Bei einem negativen Exponenten entsteht der Kehrwert der entsprechenden positiven Potenz:
$$10^{-3}=\frac{1}{10^3}=\frac{1}{1\,000}=0{,}001$$
Jeder Schritt nach rechts in der Folge teilt den Wert durch 10:
$$10^2=100,\quad 10^1=10,\quad 10^0=1,\quad 10^{-1}=0{,}1,\quad 10^{-2}=0{,}01$$
Ein positiver Exponent führt zu einer großen Zehnerpotenz. Ein negativer Exponent bedeutet nicht, dass der Wert negativ ist: $10^{-3}$ ist die positive Zahl $0{,}001$.
Wie schreibst du eine Zehnerpotenz als Dezimalzahl?
Bei $a\cdot10^n$ verschiebst du das Dezimalkomma des Faktors $a$:
- Ist $n$ positiv, verschiebst du es um $n$ Stellen nach rechts.
- Ist $n$ negativ, verschiebst du es um den Betrag von $n$ nach links.
- Fehlende Stellen füllst du mit Nullen.
Schreibe $3{,}4\cdot10^6$ als Dezimalzahl.
Der Exponent 6 ist positiv. Deshalb wandert das Komma sechs Stellen nach rechts:
$$3{,}4\cdot10^6=3\,400\,000$$
Schreibe nun $7{,}69\cdot10^{-4}$ als Dezimalzahl.
Der Exponent ist negativ. Das Komma wandert vier Stellen nach links:
$$7{,}69\cdot10^{-4}=0{,}000769$$
Achte darauf, von der vorhandenen Kommaposition aus zu zählen. Der Exponent gibt nicht einfach die Anzahl aller sichtbaren Nullen an.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Ausschreiben von $5{,}2\cdot10^3$ wandert das Komma nach . Das Ergebnis lautet . Bei $5{,}2\cdot10^{-3}$ wandert das Komma nach ; es entsteht .
Wie entsteht die wissenschaftliche Schreibweise?
In der wissenschaftlichen Schreibweise steht eine Zahl als
$$a\cdot10^n$$
Dabei gilt $1\leq a<10$. Vor dem Komma steht also genau eine Ziffer von 1 bis 9.
So wandelst du eine Dezimalzahl um:
- Verschiebe das Komma, bis der Faktor zwischen 1 und 10 liegt.
- Zähle die verschobenen Stellen.
- Bei einer großen Ausgangszahl ist der Exponent positiv.
- Bei einer kleinen Ausgangszahl zwischen 0 und 1 ist er negativ.
Bei $4\,500\,000$ verschiebst du das Komma sechs Stellen nach links:
$$4\,500\,000=4{,}5\cdot10^6$$
Bei $0{,}00032$ verschiebst du es vier Stellen nach rechts, damit $3{,}2$ entsteht:
$$0{,}00032=3{,}2\cdot10^{-4}$$
Das negative Vorzeichen zeigt, dass die Ausgangszahl kleiner als 1 ist.
Verschiedene Potenzprodukte können denselben Wert haben:
$$25\cdot10^5=2{,}5\cdot10^6=0{,}25\cdot10^7$$
Nur $2{,}5\cdot10^6$ ist wissenschaftlich normalisiert, weil der Faktor mindestens 1 und kleiner als 10 ist.
Wie rechnest du mit Zehnerpotenzen?
Beim Multiplizieren gleicher Basen addierst du die Exponenten. Beim Dividieren subtrahierst du sie:
$$10^m\cdot10^n=10^{m+n}$$
$$\frac{10^m}{10^n}=10^{m-n}$$
Berechne $(2\cdot10^3)\cdot(4\cdot10^{-2})$.
Zuerst multiplizierst du die Faktoren. Danach addierst du die Exponenten:
$$(2\cdot4)\cdot10^{3+(-2)}=8\cdot10^1=80$$
Bei der Division $(6\cdot10^5):(3\cdot10^2)$ rechnest du entsprechend:
$$(6:3)\cdot10^{5-2}=2\cdot10^3=2\,000$$
Beim Addieren und Subtrahieren darfst du die Faktoren nur direkt zusammenfassen, wenn die Exponenten gleich sind:
$$a\cdot10^n+b\cdot10^n=(a+b)\cdot10^n$$
Berechne $3\cdot10^4+2\cdot10^3$.
Die Exponenten sind verschieden. Deshalb schreibst du den zweiten Summanden zuerst mit $10^4$:
$$2\cdot10^3=0{,}2\cdot10^4$$
Nun kannst du die Faktoren addieren:
$$3\cdot10^4+0{,}2\cdot10^4=3{,}2\cdot10^4=32\,000$$
Bei Multiplikation und Division rechnest du mit den Exponenten. Bei Addition und Subtraktion musst du zuerst gleiche Exponenten herstellen.
Wie vergleichst du Größenordnungen?
Bei wissenschaftlich geschriebenen positiven Zahlen vergleichst du zuerst die Exponenten. Der größere Exponent kennzeichnet gewöhnlich die größere Zahl. Sind die Exponenten gleich, vergleichst du die Faktoren.
Vergleiche $6{,}2\cdot10^7$ und $9{,}1\cdot10^6$.
Der erste Exponent ist 7, der zweite 6. Daher gilt:
$$6{,}2\cdot10^7>9{,}1\cdot10^6$$
Vergleiche nun $3{,}8\cdot10^{-5}$ und $7{,}2\cdot10^{-5}$. Beide Exponenten sind gleich. Deshalb entscheidet der Faktor:
$$3{,}8\cdot10^{-5}<7{,}2\cdot10^{-5}$$
Unterscheiden sich gleiche Faktoren um drei Exponentenstufen, unterscheiden sich ihre Werte um den Faktor $10^3=1\,000$. Zum Beispiel ist $4{,}5\cdot10^6$ tausendmal so groß wie $4{,}5\cdot10^3$.
Wie hängen Präfixe und Zehnerpotenzen zusammen?
Präfixe vor Einheiten ersetzen häufig verwendete Zehnerpotenzen. So ist ein Kilometer das Tausendfache eines Meters, während ein Millimeter ein Tausendstel eines Meters ist.
| Präfix | Symbol | Zehnerpotenz | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Giga | G | $10^9$ | $1\,\mathrm{GW}=10^9\,\mathrm W$ |
| Mega | M | $10^6$ | $1\,\mathrm{MJ}=10^6\,\mathrm J$ |
| Kilo | k | $10^3$ | $1\,\mathrm{km}=10^3\,\mathrm m$ |
| Zenti | c | $10^{-2}$ | $1\,\mathrm{cm}=10^{-2}\,\mathrm m$ |
| Milli | m | $10^{-3}$ | $1\,\mathrm{mm}=10^{-3}\,\mathrm m$ |
| Mikro | $\mu$ | $10^{-6}$ | $1\,\mathrm{\mu m}=10^{-6}\,\mathrm m$ |
| Nano | n | $10^{-9}$ | $1\,\mathrm{nm}=10^{-9}\,\mathrm m$ |
Groß- und Kleinschreibung sind wichtig: $\mathrm M$ steht für Mega, $\mathrm m$ als Präfix für Milli.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Zehnerpotenzen
- Bedeutung: Basis 10 und ganzzahliger Exponent
- Positive Exponenten: große Stufen und Kommaverschiebung nach rechts
- Exponent 0: Wert 1
- Negative Exponenten: Kehrwerte und Kommaverschiebung nach links
- Wissenschaftliche Schreibweise: Faktor zwischen 1 und 10
- Rechnen: Potenzgesetze oder gleiche Exponenten nutzen
- Vergleichen: zuerst Exponenten, dann Faktoren
- Präfixe: Zehnerpotenzen bei Einheiten
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Aufgaben begründen kannst, kannst du Zehnerpotenzen nicht nur ablesen, sondern auch umwandeln, vergleichen und in Rechnungen einsetzen.