Potenzfunktionen

Potenzfunktionen zeigen, wie stark ein Exponent den Graphen verändert. Du erkennst damit typische Kurvenformen und ihr Verhalten für große und kleine x-Werte.

    :::lernziele
    - Ich kann Potenzfunktionen erkennen.

• Ich kann gerade und ungerade Exponenten vergleichen.

• Ich kann einfache Funktionswerte berechnen.

• Ich kann Graphen grob skizzieren. :::

    ## Grundidee
  
    Bei geraden positiven Exponenten sehen die Grundgraphen achsensymmetrisch aus. Bei ungeraden positiven Exponenten sind sie punktsymmetrisch zum Ursprung.
  
    :::definition Potenzfunktion
    Eine **Potenzfunktion** hat die Form f(x)=a mal x^n. Der Exponent n bestimmt die Grundform des Graphen.
    :::
  
    :::beispiel
    Für f(x)=x^3 gilt: f(-2)=-8, f(-1)=-1, f(0)=0, f(1)=1, f(2)=8. Der Graph läuft durch den Ursprung und steigt von links nach rechts.
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    :::merke
    Der Exponent entscheidet über Symmetrie, Verlauf und erlaubte x-Werte.
    :::
  
    :::quiz
    ?1 Welche Symmetrie hat f(x)=x^2?
    + Achsensymmetrie zur y-Achse.
    - Punktsymmetrie zum Ursprung. => Gerade Exponenten führen zur y-Achsen-Symmetrie.
    ! Achsensymmetrie zur y-Achse. ist richtig.
    ?2 Was ist f(-2) für f(x)=x^3?
    + -8
    - 8 => Ein ungerader Exponent behält das Minus.
    ! Achte auf die genaue Regel und prüfe dein Ergebnis.
    :::
  
    ## Methode Schritt für Schritt
  
    Prüfe Exponent, Vorfaktor und Definitionsmenge. Negative Exponenten bedeuten Brüche wie 1/x^2, deshalb ist x=0 dann nicht erlaubt.
  
    :::beispiel
    Bei f(x)=x^-2 gilt f(x)=1/x^2. Für x=2 erhältst du 1/4. Für x=-2 ebenfalls 1/4, weil das Quadrat positiv wird.
    :::
  
    :::lueckentext
    Gerade Exponenten liefern oft {*achsensymmetrische|periodische} Graphen.
    ! Wenn du die Schlüsselwörter richtig zuordnest, passt auch die Rechenidee.
    :::

Prüfungsmodus

In Klassenarbeiten erkennst du das Thema oft nicht am Namen, sondern an der Aufgabe. Frage dich zuerst: Was ist gegeben, was ist gesucht, und welche Bedingung muss am Ende stimmen?

    ## Alles auf einen Blick

    :::karten
    x^2 => Parabel

x^3 => S-Kurve x^-2 => 1 durch x^2 :::

    :::mindmap
    Potenzfunktionen

Exponent Vorfaktor Symmetrie Definitionsmenge :::

    ## Abschluss-Check

    :::quiz
    ?1 Warum ist x=0 bei x^-2 verboten?
    + Weil die Funktion 1/x^2 enthält und nicht durch 0 geteilt werden darf.
    - Weil 0 nie eingesetzt werden darf. => Bei positiven Exponenten wäre 0 erlaubt.
    ! Entscheide zuerst, welche Information wirklich gefragt ist.
    ?2 Was ist eine gute Probe?
    + Du setzt dein Ergebnis wieder in die Aufgabe oder die Bedeutung ein.
    - Du vergleichst nur, ob die Zahl schön aussieht. => Eine Probe muss zur Aufgabe passen.
    ! Eine Probe schützt dich vor Vorzeichen-, Stellenwert- und Einheitenfehlern.
    ?3 Wie gehst du bei einer gemischten Aufgabe vor?
    + Erst Thema erkennen, dann passende Regel wählen, dann rechnen und prüfen.
    - Sofort irgendeine Formel einsetzen. => Die Formel muss zur Situation passen.
    ! Diese Reihenfolge hilft besonders in Klassenarbeiten.
    :::

    ## Zusammenfassung

    Potenzfunktionen lassen sich gut über Exponent und Vorfaktor lesen. Diese zwei Informationen verraten viel über Graph und Definitionsmenge.