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Potenzfunktionen: Graphen erkennen und zeichnen
Bei einer Potenzfunktion steht die Variable in der Basis, zum Beispiel bei $f(x)=x^3$. Für positive und negative ganzzahlige Exponenten kannst du den Graphen vor allem am Vorzeichen und daran erkennen, ob der Exponent gerade oder ungerade ist.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wie liest du eine Potenzfunktion?
Die Grundform lautet $f(x)=x^n$. Dabei ist $x$ die Basis und $n$ der Exponent. In diesem Wiki ist $n$ eine positive oder negative ganze Zahl.
Potenzfunktion
Eine Potenzfunktion ordnet jedem erlaubten Wert von $x$ eine Potenz von $x$ zu. Bei $f(x)=x^4$ ist die Variable die Basis. Eine Funktion mit der Variablen im Exponenten gehört dagegen nicht zu dieser Grundform.
Für die Form des Graphen stellst du zwei Fragen:
- Ist der Exponent positiv oder negativ?
- Ist der Exponent gerade oder ungerade?
Gerade Exponenten erzeugen bei der Grundform eine Achsensymmetrie zur $y$-Achse. Ungerade Exponenten erzeugen eine Punktsymmetrie zum Ursprung.
Vergleiche $f(x)=x^2$ und $g(x)=x^3$.
Für $x=-1$ gilt $f(-1)=1$, aber $g(-1)=-1$. Die gerade Potenz macht das negative Vorzeichen positiv. Die ungerade Potenz erhält es. Deshalb liegt der Graph von $x^2$ auf oder oberhalb der $x$-Achse, während $x^3$ auch negative Funktionswerte besitzt.
Welche vier Grundtypen gibt es?
Die vier Fälle lassen sich über Vorzeichen und Parität des Exponenten ordnen.
| Exponent | Definitionsbereich | Wertebereich | Symmetrie | Nullstelle |
|---|---|---|---|---|
| positiv und gerade | alle reellen Zahlen | $y\geq 0$ | zur $y$-Achse | $(0\mid0)$ |
| positiv und ungerade | alle reellen Zahlen | alle reellen Zahlen | zum Ursprung | $(0\mid0)$ |
| negativ und gerade | alle reellen Zahlen außer $0$ | $y>0$ | zur $y$-Achse | keine |
| negativ und ungerade | alle reellen Zahlen außer $0$ | alle reellen Zahlen außer $0$ | zum Ursprung | keine |
Bei einem negativen Exponenten gilt zum Beispiel:
$$x^{-3}=\frac{1}{x^3}$$
Deshalb darf $x$ nicht $0$ sein: Eine Division durch $0$ ist nicht definiert.
Positiv oder negativ entscheidet über Ursprung beziehungsweise Definitionslücke. Gerade oder ungerade entscheidet über die Art der Symmetrie.
Das Verhalten der Graphen ergänzt die Tabelle:
- $x^n$ mit positivem geradem $n$ fällt für $x<0$ und steigt für $x>0$.
- $x^n$ mit positivem ungeradem $n$ steigt im gesamten Definitionsbereich.
- $x^n$ mit negativem geradem $n$ steigt links von $0$ und fällt rechts von $0$.
- $x^n$ mit negativem ungeradem $n$ fällt auf jedem der beiden Bereiche $x<0$ und $x>0$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei $f(x)=x^{-4}$ ist der Exponent und . Deshalb ist der Graph zur symmetrisch und $x=0$ gehört zum Definitionsbereich.
Warum entstehen bei negativen Exponenten Asymptoten?
Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich ein Graph immer weiter nähert. Bei negativen ganzzahligen Exponenten sind beide Koordinatenachsen Asymptoten.
Für große Beträge von $x$ wird $1/x^k$ immer kleiner. Der Graph nähert sich daher der $x$-Achse, erreicht sie aber nicht.
Wenn sich $x$ dagegen von links oder rechts der $0$ nähert, wird der Betrag des Bruchs immer größer. Da $x=0$ ausgeschlossen ist, bildet die $y$-Achse eine senkrechte Asymptote.
Beim Vorzeichen unterscheiden sich gerade und ungerade negative Exponenten:
- Bei $x^{-2}$ gehen beide Äste nahe $x=0$ nach oben.
- Bei $x^{-3}$ geht der linke Ast nach unten und der rechte nach oben.
Für $f(x)=x^{-3}$ erhältst du
$$f(-2)=(-2)^{-3}=-\frac{1}{8}$$
und
$$f(2)=2^{-3}=\frac{1}{8}.$$
Die Punkte $(-2\mid-1/8)$ und $(2\mid1/8)$ passen zur Punktsymmetrie am Ursprung.
Wie zeichnest du eine veränderte Potenzfunktion?
Betrachte die Form
$$f(x)=a(x-d)^n+e$$
mit $a\ne0$.
Du kannst den Graphen in vier Schritten skizzieren:
- Bestimme die Grundform aus Vorzeichen und Parität des Exponenten.
- Untersuche den Faktor $a$. Für $|a|>1$ wird der Graph in $y$-Richtung gestreckt, für $0<|a|<1$ gestaucht. Ein negatives $a$ spiegelt ihn zusätzlich an der $x$-Achse.
- Lies die Verschiebung ab: $x-d$ verschiebt den Graphen in $x$-Richtung. Bei $d>0$ geht es nach rechts, bei $d<0$ nach links. Der Summand $e$ verschiebt bei $e>0$ nach oben und bei $e<0$ nach unten.
- Berechne einige Punkte und nutze die Symmetrie.
Skizziere $f(x)=5(x-1)^8+7$.
Der Exponent $8$ ist positiv und gerade. Der Grundgraph ist daher zur $y$-Achse symmetrisch und nach oben gerichtet.
Der Faktor $5$ streckt den Graphen. Durch $x-1$ wird er um $1$ nach rechts, durch $+7$ um $7$ nach oben verschoben. Die Symmetrieachse ist nun $x=1$; der tiefste Punkt liegt bei $(1\mid7)$.
Nun berechnest du benachbarte Punkte:
$$f(1)=5\cdot0^8+7=7$$
$$f(2)=5\cdot1^8+7=12$$
$$f(0)=5\cdot(-1)^8+7=12$$
Die Punkte $(0\mid12)$ und $(2\mid12)$ liegen symmetrisch zur Geraden $x=1$. Mit diesen drei Punkten kannst du den typischen Verlauf skizzieren.
Achte beim horizontalen Verschieben auf das Vorzeichen in der Klammer: $x-1$ bedeutet eine Verschiebung nach rechts, nicht nach links.
Kannst du einen Graphen begründet zuordnen?
Ordne den Beschreibungen jeweils einen Term aus dieser Liste zu:
- $A(x)=x^4$
- $B(x)=x^3$
- $C(x)=x^{-2}$
- $D(x)=x^{-3}$
- Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung, verläuft durch den Ursprung und steigt.
- Der Graph hat zwei Äste oberhalb der $x$-Achse; beide Koordinatenachsen sind Asymptoten.
- Der Graph ist zur $y$-Achse symmetrisch und besitzt im Ursprung seine einzige Nullstelle.
- Der Graph hat zwei zum Ursprung punktsymmetrische Äste und keine Nullstelle.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Potenzfunktionen $f(x)=x^n$
- positiver Exponent: Ursprung ist enthalten
- negativer Exponent: Definitionslücke bei $x=0$
- gerader Exponent: Symmetrie zur $y$-Achse
- ungerader Exponent: Symmetrie zum Ursprung
- negative Exponenten: beide Koordinatenachsen sind Asymptoten
- Faktor und Verschiebung: Form und Lage des Graphen ändern sich
Abschluss-Check
Du kannst einen Potenzgraphen nun systematisch untersuchen: zuerst Vorzeichen und Parität des Exponenten, dann Definitionsbereich, Symmetrie und Verlauf, anschließend mögliche Faktoren und Verschiebungen.