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Hyperbel: Gleichung, Asymptoten und 1/x
Eine Hyperbel besteht aus zwei getrennten Ästen. Geometrisch ist sie ein Kegelschnitt mit zwei Brennpunkten. Der Graph von $y=\frac{1}{x}$ ist ein besonderer Fall: eine gedrehte gleichseitige Hyperbel.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine Hyperbel?
Eine Hyperbel besitzt zwei getrennte, zueinander symmetrische Äste. Beide reichen unbegrenzt weit und nähern sich dabei bestimmten Geraden an, ohne mit ihnen zusammenzufallen. Diese Geraden heißen Asymptoten.
Brennpunktdefinition
Eine Hyperbel besteht aus allen Punkten $P$, für welche der Betrag der Differenz ihrer Abstände zu zwei festen Brennpunkten $F_1$ und $F_2$ konstant ist:
$$\left||PF_1|-|PF_2|\right|=2a$$
Der Betrag ist nötig, weil auf jedem Ast ein anderer Brennpunkt näher liegt.
Eine Hyperbel kann entstehen, wenn eine Ebene beide Hälften eines Doppelkegels schneidet. Deshalb gehört sie zusammen mit Kreis, Ellipse und Parabel zu den Kegelschnitten.
Nicht jeder gebogene Graph mit zwei Teilen ist automatisch eine Hyperbel. Entscheidend sind eine passende geometrische Definition oder eine entsprechende Gleichung.
Wie liest du die Normalform?
Liegt der Mittelpunkt im Ursprung und verläuft die Hauptachse waagerecht, lautet die Normalform
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad a>0,\ b>0.$$
Daraus kannst du wichtige Eigenschaften direkt ablesen:
- Mittelpunkt: $M=(0,0)$
- Scheitel: $S_1=(a,0)$ und $S_2=(-a,0)$
- Brennpunkte: $F_1=(e,0)$ und $F_2=(-e,0)$
- Brennweite: $e=\sqrt{a^2+b^2}$
- Asymptoten: $y=\frac{b}{a}x$ und $y=-\frac{b}{a}x$
- mögliche $x$-Werte: $x\leq -a$ oder $x\geq a$
Die Punkte $(0,b)$ und $(0,-b)$ liegen nicht auf der Hyperbel. Der Wert $b$ hilft jedoch dabei, die Steigungen der Asymptoten festzulegen.
Untersuche die Hyperbel
$$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1.$$
Aus $a^2=9$ und $b^2=4$ folgen $a=3$ und $b=2$. Daher gilt:
- $M=(0,0)$
- $S_1=(3,0)$ und $S_2=(-3,0)$
- $e=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$
- $F_1=(\sqrt{13},0)$ und $F_2=(-\sqrt{13},0)$
- Asymptoten: $y=\frac{2}{3}x$ und $y=-\frac{2}{3}x$
- reelle Kurvenpunkte gibt es nur für $|x|\geq3$.
Die Hyperbel besitzt somit einen rechten und einen linken Ast. Ihre Scheitel sind die Punkte der Äste, die dem Mittelpunkt am nächsten liegen.
Wie prüfst und zeichnest du eine Hyperbel?
Zum Zeichnen einer Hyperbel in Normalform gehst du schrittweise vor:
- Bestimme $a$ und $b$ aus den Nennern.
- Markiere den Mittelpunkt und die Scheitel $(\pm a,0)$.
- Zeichne gedanklich ein Rechteck mit den Eckpunkten $(\pm a,\pm b)$.
- Zeichne seine Diagonalen als Asymptoten.
- Ergänze beide Äste durch geeignete Punkte. Die Äste verlaufen durch die Scheitel und nähern sich den Asymptoten an.
Ob ein Punkt auf der Hyperbel liegt, prüfst du durch Einsetzen seiner Koordinaten.
Liegt $P=(5,\frac{8}{3})$ auf $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$?
Einsetzen ergibt
$$\frac{5^2}{9}-\frac{(8/3)^2}{4}=\frac{25}{9}-\frac{16}{9}=1.$$
Die linke Seite ergibt genau $1$. Der Punkt liegt daher auf der Hyperbel.
Ist der Mittelpunkt $M=(x_0,y_0)$, lautet die verschobene Normalform
$$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1.$$
Die waagerechten Scheitel sind dann $(x_0-a,y_0)$ und $(x_0+a,y_0)$. Auch die Asymptoten werden um den Mittelpunkt verschoben:
$$y-y_0=\pm\frac{b}{a}(x-x_0).$$
Was ist eine Funktionshyperbel?
Die Kehrwertfunktion
$$f(x)=\frac{1}{x}$$
hat eine besondere Hyperbel als Graphen. Für $x=0$ ist sie nicht definiert, weil eine Division durch null unmöglich ist.
- Definitionsbereich: alle reellen Zahlen außer $0$
- Wertebereich: alle reellen Zahlen außer $0$
- senkrechte Asymptote: $x=0$
- waagerechte Asymptote: $y=0$
- Mittelpunkt: $(0,0)$
Für $x$ nahe bei $0$ werden die Funktionswerte betragsmäßig sehr groß. Für große Beträge von $x$ nähern sich die Funktionswerte dagegen $0$.
Eine verschobene und gestreckte Funktionshyperbel hat die Form
$$g(x)=\frac{A}{x-x_0}+y_0,\qquad A\neq0.$$
Ihr Mittelpunkt ist $(x_0,y_0),$ ihre Asymptoten sind $x=x_0$ und $y=y_0$. Außerdem gilt für jeden Punkt des Graphen
$$(x-x_0)(y-y_0)=A.$$
Untersuche $g(x)=\frac{6}{x-2}-1$.
Der Mittelpunkt ist $(2,-1)$. Die Asymptoten sind $x=2$ und $y=-1$. Deshalb ist $x=2$ aus dem Definitionsbereich und $y=-1$ aus dem Wertebereich ausgeschlossen.
Für $x=5$ gilt $g(5)=1$. Der Punkt $(5,1)$ erfüllt tatsächlich
$$(5-2)(1+1)=3\cdot2=6.$$
Für $x=1$ gilt $g(1)=-7$. Auch hier bleibt das Produkt konstant:
$$(1-2)(-7+1)=(-1)\cdot(-6)=6.$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei $g(x)=\frac{4}{x-3}+2$ ist der Mittelpunkt . Die senkrechte Asymptote lautet , die waagerechte Asymptote . Aus dem Definitionsbereich ist ausgeschlossen.
Wie beschreibt eine Hyperbel Antiproportionalität?
Zwei positive Größen sind antiproportional, wenn ihr Produkt konstant bleibt. Wird eine Größe größer, wird die andere im passenden Verhältnis kleiner.
Ein Rechteck mit festem Flächeninhalt $24\,\text{cm}^2$ erfüllt
$$l\cdot b=24\,\text{cm}^2$$
und damit
$$b=\frac{24\,\text{cm}^2}{l}.$$
Verdoppelst du die Länge von $4\,\text{cm}$ auf $8\,\text{cm}$, halbiert sich die Breite von $6\,\text{cm}$ auf $3\,\text{cm}$. Das Produkt bleibt jeweils $24\,\text{cm}^2$.
Im Sachzusammenhang sind nur positive Seitenlängen sinnvoll. Deshalb nutzt das Rechteckmodell nur den Ast im Bereich $l>0$ und $b>0$, obwohl der vollständige Graph von $y=\frac{24}{x}$ zwei Äste besitzt.
„Eine Größe steigt, die andere fällt“ reicht nicht als Begründung für Antiproportionalität. Erst ein konstantes Produkt weist einen antiproportionalen Zusammenhang nach.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Hyperbel
- Gestalt: zwei getrennte, symmetrische Äste
- Geometrie: konstante Differenz der Brennpunktabstände
- Normalform: Mittelpunkt, Scheitel und Brennpunkte
- Asymptoten: Geraden, denen sich die Äste annähern
- Funktionsform: $y=\frac{A}{x-x_0}+y_0$
- Anwendung: antiproportionale Zusammenhänge
Abschluss-Check
Du kannst eine Hyperbel nun aus zwei Blickrichtungen untersuchen: geometrisch über Brennpunkte und Normalform sowie funktional über die Kehrwertform. Prüfe dabei stets, welche Darstellung vorliegt und welche Größen aus ihr sicher ablesbar sind.