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Antiproportionale Zuordnung erkennen und berechnen
Bei einer antiproportionalen Zuordnung wird eine Größe kleiner, wenn die andere im gleichen Verhältnis größer wird. Verdoppelt sich zum Beispiel die eine Größe, halbiert sich die andere. Sicher erkennst du den Zusammenhang daran, dass das Produkt zusammengehöriger Werte konstant bleibt.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine antiproportionale Zuordnung?
„Je mehr, desto weniger“ ist ein erster Hinweis, aber noch kein sicherer Beweis. Entscheidend ist, wie genau sich die beiden Größen verändern.
Antiproportionale Zuordnung
Eine Zuordnung ist antiproportional, wenn für jedes zusammengehörige Wertepaar $(x,y)$ dasselbe Produkt entsteht:
$$x \cdot y = k$$
Die konstante Zahl $k$ heißt Antiproportionalitätsfaktor.
Wird $x$ mit einem Faktor vervielfacht, muss $y$ durch denselben Faktor geteilt werden. So bleibt das Produkt gleich:
- doppeltes $x$ → halbes $y$
- dreifaches $x$ → ein Drittel von $y$
- halbes $x$ → doppeltes $y$
Gegeben ist diese Tabelle:
| $x$ | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| $y$ | 12 | 6 | 4 | 3 |
Prüfe alle Produkte:
$$2 \cdot 12 = 24$$
$$4 \cdot 6 = 24$$
$$6 \cdot 4 = 24$$
$$8 \cdot 3 = 24$$
Alle Produkte sind gleich. Deshalb ist die Zuordnung antiproportional und $k=24$.
Gegenläufige Werte allein reichen nicht. Erst ein konstantes Produkt beweist die Antiproportionalität.
Wie berechnest du fehlende Werte?
Aus der Produktgleichheit folgt die Zuordnungsvorschrift. Teile dazu beide Seiten von $x \cdot y=k$ durch $x$:
$$y = \frac{k}{x}$$
Du gehst in drei Schritten vor:
- Bestimme mit einem bekannten Wertepaar das Produkt $k=x \cdot y$.
- Setze den gesuchten $x$-Wert in $y=\frac{k}{x}$ ein.
- Prüfe Einheit, Produkt und Bedeutung des Ergebnisses.
Drei Bagger benötigen für eine feste Baugrube 36 Stunden. Gesucht ist die Arbeitszeit von sechs gleich leistungsfähigen Baggern.
1. Faktor bestimmen:
$$k = 3 \cdot 36\,\text{h} = 108\,\text{Baggerstunden}$$
Die 108 Baggerstunden beschreiben im Modell die feste Gesamtarbeit als Produkt aus Baggerzahl und Arbeitszeit.
2. Neuen Wert berechnen:
$$y = \frac{108\,\text{Baggerstunden}}{6\,\text{Bagger}} = 18\,\text{h}$$
3. Ergebnis prüfen: Sechs Bagger sind doppelt so viele wie drei Bagger. Deshalb muss sich die Zeit von 36 auf 18 Stunden halbieren. Außerdem gilt $6 \cdot 18\,\text{h}=108\,\text{Baggerstunden}$.
Unter den Modellannahmen benötigen sechs Bagger also 18 Stunden.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei einer antiproportionalen Zuordnung bleibt das konstant. Aus $x \cdot y=k$ folgt $y=$. Wird $x$ verdoppelt, wird $y$ .
Was zeigen Tabelle und Graph?
Eine Wertetabelle zeigt zusammengehörige Wertepaare. Du kannst jede Spalte mit der Produktprobe kontrollieren.
Im Koordinatensystem wird jedes Wertepaar als Punkt $(x,y)$ eingetragen. Bei einer antiproportionalen Zuordnung liegen die Punkte auf einer Hyperbel.
Hyperbel
Die Hyperbel ist der typische Graph einer antiproportionalen Zuordnung. Für positive Werte fällt sie von links oben nach rechts unten: Große $x$-Werte gehören zu kleinen $y$-Werten.
Die Hyperbel ist keine fallende Gerade. Sie wird mit wachsendem $x$ immer flacher und nähert sich der $x$-Achse an. Nahe bei $x=0$ steigt sie steil an.
In der Gleichung $y=\frac{k}{x}$ darf $x$ nicht 0 sein, weil eine Division durch 0 nicht definiert ist. Ein antiproportionales Arbeitszeitmodell besitzt deshalb bei $x=0$ keinen sinnvollen Tabellenwert.
Wann passt das Modell zur Wirklichkeit?
Eine Rechnung kann mathematisch richtig sein und trotzdem die Wirklichkeit schlecht beschreiben. Bei Arbeitsaufgaben gilt die Antiproportionalität nur unter bestimmten Annahmen:
- Die Gesamtarbeit bleibt gleich.
- Alle Beteiligten oder Maschinen leisten gleich viel.
- Sie können die Arbeit ohne gegenseitige Behinderung aufteilen.
- Zusätzliche Beteiligte verursachen keine neuen Wartezeiten.
Beim Tragen von 18 gleichartigen Kästen kann eine Verdopplung der Trägerzahl die Zeit ungefähr halbieren, wenn alle gleich schnell arbeiten und genügend Platz vorhanden ist. In einem engen Treppenhaus könnten sich die Träger jedoch behindern. Dann wäre das antiproportionale Modell nur eingeschränkt passend.
Kannst du Zuordnungen sicher unterscheiden?
Vergleiche nicht nur die Wörter „mehr“ und „weniger“. Nutze das passende rechnerische Kennzeichen:
| Zuordnungsart | Veränderung | Sicheres Kennzeichen |
|---|---|---|
| proportional | beide Größen verändern sich im gleichen Verhältnis | konstanter Quotient |
| antiproportional | eine Größe wächst, die andere sinkt im umgekehrten Verhältnis | konstantes Produkt |
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Antiproportionale Zuordnung
- Erkennen: gegenläufige Veränderung und konstantes Produkt
- Berechnen: $k=x \cdot y$ und $y=\frac{k}{x}$
- Darstellen: Wertetabelle und Hyperbel
- Abgrenzen: proportional bedeutet konstanter Quotient
- Prüfen: Einheit, Produkt, Plausibilität und Modellannahmen
Abschluss-Check
Wenn du das konstante Produkt bestimmen, mit $y=\frac{k}{x}$ rechnen und die Modellannahmen erklären kannst, beherrschst du den Kern antiproportionaler Zuordnungen.