Mit Google fortfahren
Verhältnisse berechnen und Mengen aufteilen
Ein Verhältnis vergleicht Größen durch Division. Das Verhältnis von $a$ zu $b$ schreibst du als $a:b$ oder als Bruch $\frac{a}{b}$. Dabei bestimmt die genannte Reihenfolge die Bedeutung.
Auf dieser Seite lernst du, Verhältnisse zu bilden und zu kürzen. Außerdem unterscheidest du Teil-zu-Teil von Teil-zu-Ganzem und verteilst Gesamtmengen nach einem Verhältnis.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Die Reihenfolge bestimmt das Verhältnis
Ein Verhältnis beantwortet immer eine genaue Frage: Welche Größe wird mit welcher anderen Größe verglichen?
Verhältnis
Das Verhältnis von $a$ zu $b$ ist der Quotient $a:b=\frac{a}{b}$. Die Zahl $b$ darf dabei nicht null sein. $a$ und $b$ heißen Glieder des Verhältnisses.
In einer Gruppe sind 12 Mädchen und 4 Jungen. Dann gilt:
- Mädchen zu Jungen: $12:4=3:1$
- Jungen zu Mädchen: $4:12=1:3$
Die beiden Ergebnisse beschreiben verschiedene Vergleiche. Deshalb darfst du die Reihenfolge nicht danach wählen, welche Zahl größer ist.
Schreibe die zuerst genannte Größe zuerst. $A:B$ bedeutet „$A$ zu $B$“ – nicht automatisch „größere Zahl zu kleinerer Zahl“.
Ein Bildschirm ist $80\,\mathrm{cm}$ breit und $45\,\mathrm{cm}$ hoch. Gesucht ist das Verhältnis Breite zu Höhe.
- Die verlangte Reihenfolge lautet Breite zu Höhe: $80:45$.
- Beide Zahlen sind durch 5 teilbar: $80:45=16:9$.
- Die Einheiten stimmen überein und kürzen sich.
Das Seitenverhältnis beträgt $16:9$.
Achte bei Größen mit unterschiedlichen Einheiten zuerst auf die Umrechnung. Aus $0{,}5\,\mathrm{kg}$ Mehl und $100\,\mathrm{g}$ Butter wird:
$$0{,}5\,\mathrm{kg}=500\,\mathrm{g}$$
Damit ist das Verhältnis Mehl zu Butter:
$$500:100=5:1$$
Gleichwertige Verhältnisse erkennen
Verhältnisse funktionieren beim Kürzen und Erweitern ähnlich wie Brüche. Teilst oder multiplizierst du alle Glieder mit derselben von null verschiedenen Zahl, bleibt der Vergleich gleich.
$$15:10=3:2$$
Denn beide Glieder wurden durch 5 geteilt. Umgekehrt kannst du $3:2$ mit 4 skalieren:
$$3:2=(3\cdot4):(2\cdot4)=12:8$$
$3:2$ und $12:8$ sind gleichwertige Verhältnisse. Die konkreten Mengen sind unterschiedlich, aber der Vergleich ist derselbe.
Ein Getränk wird im Verhältnis Saft zu Wasser $2:3$ gemischt.
- Eine kleine Mischung kann aus 2 Bechern Saft und 3 Bechern Wasser bestehen.
- Mit dem Skalierungsfaktor 4 entstehen 8 Becher Saft und 12 Becher Wasser.
Kontrolle:
$$8:12=2:3$$
Beide Mengen wurden mit demselben Faktor verändert.
Ein typischer Fehler ist, nur ein Glied zu verändern. Aus $2:3$ wird durch Verdoppeln nicht $4:3$, sondern $4:6$.
Teil zu Teil oder Teil zum Ganzen?
Dasselbe Beispiel kann zu verschiedenen Verhältnissen führen. Entscheidend ist, welche Größen die Frage nennt.
Von 45 Kugeln sind 20 rot und 25 blau:
- rot zu blau: $20:25=4:5$
- rot zu allen: $20:45=4:9$
- blau zu allen: $25:45=5:9$
Ein Teil-zu-Teil-Verhältnis vergleicht zwei Gruppen miteinander. Ein Teil-zu-Ganzem-Verhältnis vergleicht eine Gruppe mit der Gesamtmenge.
Bei einem Teil-zu-Teil-Verhältnis $a:b$ besteht das Ganze aus $a+b$ Verhältnisanteilen. Der erste Teil umfasst deshalb den Anteil $\frac{a}{a+b}$ des Ganzen, der zweite den Anteil $\frac{b}{a+b}$.
Aus Mädchen zu Jungen $=3:1$ folgt daher:
- Mädchenanteil am Ganzen: $\frac{3}{3+1}=\frac34$
- Jungenanteil am Ganzen: $\frac{1}{3+1}=\frac14$
$1:2$ bedeutet nicht, dass der erste Teil die Hälfte des Ganzen ist. Das Ganze umfasst $1+2=3$ Verhältnisanteile. Der erste Teil ist daher $\frac13$ des Ganzen.
Eine Gesamtmenge nach einem Verhältnis aufteilen
Du möchtest $10\,000\,€$ im Verhältnis $2:3$ auf zwei Gruppen verteilen. Die Zahlen 2 und 3 sind zunächst keine Eurobeträge, sondern Anzahlen gleich großer Verhältnisanteile.
Gehe in drei Schritten vor:
- Addiere die Verhältnisglieder.
- Teile die Gesamtmenge durch diese Summe. So erhältst du den Wert eines Anteils.
- Multipliziere den Anteilswert mit den einzelnen Verhältnisgliedern.
$10\,000\,€$ werden im Verhältnis $2:3$ verteilt.
1. Anzahl der Anteile:
$$2+3=5$$
2. Wert eines Anteils:
$$10\,000\,€:5=2\,000\,€$$
3. Einzelbeträge:
$$2\cdot2\,000\,€=4\,000\,€$$
$$3\cdot2\,000\,€=6\,000\,€$$
Kontrolle: $4\,000\,€+6\,000\,€=10\,000\,€$ und $4\,000:6\,000=2:3$.
Allgemein gilt für das Verhältnis $a:b$ und die Gesamtmenge $G$:
$$k=\frac{G}{a+b}$$
Dabei ist $k$ der Wert eines Verhältnisanteils. Die Einzelmengen sind dann:
$$A=a\cdot k \qquad\text{und}\qquad B=b\cdot k$$
Das Verfahren funktioniert auch mit mehr als zwei Gruppen.
27 Schülerinnen und Schüler werden im Verhältnis $2:3:4$ auf drei Gruppen verteilt.
$$2+3+4=9$$
$$27:9=3$$
Ein Verhältnisanteil entspricht 3 Personen. Die Gruppen enthalten daher:
$$2\cdot3=6,\qquad3\cdot3=9,\qquad4\cdot3=12$$
Kontrolle: $6+9+12=27$.
Mit einer bekannten Einzelmenge skalieren
Manchmal kennst du das Verhältnis und eine der beiden Mengen. Dann bestimmst du den Skalierungsfaktor an der bekannten Stelle und wendest ihn auf alle Glieder an.
Das Verhältnis blauer zu gelben Murmeln beträgt $2:3$. Es gibt 12 gelbe Murmeln.
Das zweite Verhältnisglied 3 gehört zu den gelben Murmeln. Um von 3 auf 12 zu gelangen, multiplizierst du mit 4:
$$3\cdot4=12$$
Denselben Faktor verwendest du für die blauen Murmeln:
$$2\cdot4=8$$
Es gibt 8 blaue und 12 gelbe Murmeln. Die Kontrolle $8:12=2:3$ bestätigt das Verhältnis.
Diese Methode ist sicherer, als nur auf Schlüsselwörter zu achten: Ordne zuerst jedes Verhältnisglied eindeutig einer Größe zu. Prüfe danach, mit welchem Faktor die bekannte Menge entstanden ist.
Typische Fehler sicher vermeiden
Reihenfolge vertauscht: Schreibe die Bezeichnungen zuerst hin, zum Beispiel „rot : blau“. Setze erst danach die Zahlen ein.
Verschiedene Einheiten verglichen: Wandle beide Größen in dieselbe Einheit um, bevor du kürzt. $0{,}5\,\mathrm{kg}:100\,\mathrm{g}$ wird zuerst zu $500\,\mathrm{g}:100\,\mathrm{g}$.
Nur ein Glied skaliert: Multipliziere oder dividiere immer alle Verhältnisglieder mit demselben Faktor.
Verhältnisglieder als fertige Mengen gelesen: Bei einer Gesamtmenge geben $2:3$ zunächst nur fünf gleich große Anteile an. Den Wert eines Anteils musst du erst berechnen.
Teil-zu-Teil mit Teil-zu-Ganzem verwechselt: Bei $3:2$ ist der erste Anteil am Ganzen $\frac35$, nicht $\frac32$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Verhältnis
- bilden: verlangte Reihenfolge beachten
- kürzen: alle Glieder gleich behandeln
- skalieren: gemeinsamen Faktor verwenden
- unterscheiden: Teil zu Teil oder Teil zum Ganzen
- verteilen: Anteile addieren und Gesamtmenge aufteilen
- prüfen: Reihenfolge, Summe und Verhältnis kontrollieren
Abschluss-Check
Du kannst dein Ergebnis jeweils doppelt prüfen: Stimmen die Einzelmengen zusammen mit der Gesamtmenge überein, und ergibt ihr gekürztes Verhältnis wieder die verlangte Reihenfolge?