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Proportionale und antiproportionale Zuordnungen
Bei einer proportionalen Zuordnung verändern sich zwei Größen mit demselben Faktor. Bei einer antiproportionalen Zuordnung wird die eine Größe mit einem Faktor multipliziert und die andere durch diesen Faktor dividiert. Bevor du einen Dreisatz rechnest, musst du prüfen, welches Modell zur Situation passt.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du die Zuordnungsart?
Eine Zuordnung verbindet Werte zweier Größen. Beispielsweise wird einer Anzahl von Flaschen ein Preis zugeordnet.
Proportionale Zuordnung
Eine Zuordnung ist proportional, wenn für jede Einheit derselbe Wert gilt. Wird die eine Größe mit einem Faktor multipliziert oder durch ihn dividiert, geschieht mit der anderen Größe dasselbe.
Beispiel: Eine Flasche kostet immer 0,50 €. Dann kosten doppelt so viele Flaschen auch doppelt so viel.
Antiproportionale Zuordnung
Eine Zuordnung ist antiproportional, wenn das Produkt der zusammengehörenden Werte konstant bleibt. Wird die eine Größe mit einem Faktor multipliziert, wird die andere durch denselben Faktor dividiert.
Beispiel: Eine Person trägt 18 Wasserkästen in 18 Minuten. Verteilen zwei gleich schnelle Personen die feste Arbeit gleichmäßig unter sich, benötigen sie im Modell nur 9 Minuten.
Die Sätze „je mehr, desto mehr“ und „je mehr, desto weniger“ sind erste Hinweise, aber noch kein Beweis. Du prüfst genauer:
| Frage | Proportional | Antiproportional |
|---|---|---|
| Was bleibt gleich? | Wert pro Einheit beziehungsweise Quotient | Produkt der beiden Werte |
| Was passiert beim Verdoppeln? | Der andere Wert verdoppelt sich. | Der andere Wert halbiert sich. |
| Typisches Modell | feste Kosten pro Stück | feste Arbeit oder feste Gesamtmenge |
Manche Zusammenhänge sind weder proportional noch antiproportional. Aus drei gefangenen Fischen an einem Tag folgt zum Beispiel nicht, dass an jedem weiteren Tag wieder genau drei Fische gefangen werden.
Wie rechnest du proportional?
Bei einer proportionalen Zuordnung kannst du zuerst den Wert für eine Einheit bestimmen. Danach berechnest du den gesuchten Zielwert. Dieses Verfahren heißt Dreisatz.
7 Wasserflaschen kosten 3,50 €. Wie viel kosten 10 Flaschen?
- Bestimme den Einzelpreis: $3{,}50\,€ : 7 = 0{,}50\,€$ pro Flasche.
- Berechne den Preis für 10 Flaschen: $10 \cdot 0{,}50\,€ = 5{,}00\,€$.
- Formuliere die Antwort: 10 Flaschen kosten 5,00 €.
Die Rechnung ist plausibel: 10 Flaschen sind mehr als 7 Flaschen, daher muss der Gesamtpreis größer als 3,50 € sein.
Du kannst auch direkt mit einem bekannten Faktor rechnen. Werden aus 7 Flaschen 14 Flaschen, wird die Anzahl mit 2 multipliziert. Deshalb wird auch der Preis mit 2 multipliziert: Aus 3,50 € werden 7,00 €.
Proportional bedeutet: gleicher Faktor auf beiden Seiten. Beim Weg über eine Einheit teilst du zuerst und multiplizierst danach.
Wie rechnest du antiproportional?
Bei einer antiproportionalen Zuordnung bleibt ein Produkt konstant. Du kannst dieses Produkt als Gesamtwert bestimmen und anschließend durch den neuen Wert teilen.
5 gleich schnelle Arbeiter benötigen für eine feste Arbeit 5 Stunden. Wie lange benötigen 10 Arbeiter im Modell?
- Bestimme die feste Gesamtarbeit: $5 \cdot 5\,\text{h} = 25$ Arbeiterstunden.
- Teile durch die neue Arbeiterzahl: $25 : 10 = 2{,}5\,\text{h}$.
- Formuliere die Antwort: 10 Arbeiter benötigen 2,5 Stunden.
Die Arbeiterzahl wurde verdoppelt. Passend dazu hat sich die benötigte Zeit halbiert.
Der Dreisatz kann auch über eine Einheit führen:
- Von 5 Arbeitern zu 1 Arbeiter wird die Arbeiterzahl durch 5 geteilt. Die Zeit wird deshalb mit 5 multipliziert: Ein Arbeiter benötigt 25 Stunden.
- Von 1 Arbeiter zu 10 Arbeitern wird die Arbeiterzahl mit 10 multipliziert. Die Zeit wird deshalb durch 10 geteilt: 10 Arbeiter benötigen 2,5 Stunden.
Antiproportional bedeutet: Faktor und Gegenoperation. Multiplizierst du auf einer Seite, dividierst du auf der anderen durch denselben Faktor.
Das Modell gilt nur, wenn die Gesamtarbeit fest ist, alle gleich schnell arbeiten und die Arbeit sinnvoll aufgeteilt werden kann. Zehn Personen erledigen nicht automatisch jede Aufgabe doppelt so schnell wie fünf Personen.
Wie prüfst du Tabelle, Formel und Graph?
Zuordnungen lassen sich auf verschiedene Arten darstellen. Alle Darstellungen müssen dieselbe Beziehung zeigen.
Proportionale Darstellung
Für einen festen Wert $k$ pro Einheit gilt:
$$y = k \cdot x$$
In einer Wertetabelle ist der Quotient $y:x$ bei allen zulässigen Wertepaaren gleich. Bei 3 € pro Donut gilt beispielsweise $y=3x$.
| Donuts $x$ | Preis $y$ |
|---|---|
| 0 | 0 € |
| 1 | 3 € |
| 2 | 6 € |
| 4 | 12 € |
Die Punkte liegen auf einer Geraden durch den Ursprung $(0,0)$. Eine Gerade, die nicht durch den Ursprung verläuft, stellt keine proportionale Zuordnung dar.
Antiproportionale Darstellung
Für ein konstantes Produkt $k$ gilt:
$$y = \frac{k}{x}$$
In einer Wertetabelle besitzen alle Wertepaare dasselbe Produkt $x\cdot y$. Bei 18 gleichmäßig verteilten Pizzastücken gilt beispielsweise $y=18:x$.
| Personen $x$ | Stücke pro Person $y$ | Produkt |
|---|---|---|
| 1 | 18 | 18 |
| 2 | 9 | 18 |
| 3 | 6 | 18 |
| 9 | 2 | 18 |
Der Graph ist eine Hyperbel. Für $x=0$ ist die Formel nicht definiert, denn durch null darfst du nicht teilen.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei einer proportionalen Zuordnung bleibt der aus den zugeordneten Werten gleich. Ihr Graph ist eine . Bei einer antiproportionalen Zuordnung bleibt das gleich. Ihr Graph ist eine .
Welche Fehler solltest du vermeiden?
Fehler 1: Nur auf „mehr“ und „weniger“ achten
Ein sprachlicher Merksatz ist kein vollständiger Nachweis. Prüfe den konstanten Quotienten, das konstante Produkt oder die passende Faktoränderung.
Fehler 2: Addieren statt mit Faktoren rechnen
Aus 3 € und 2,70 £ folgt bei einer proportionalen Zuordnung nicht, dass du auf beiden Seiten dieselbe Zahl subtrahierst. Du bestimmst den Wert für 1 €:
$2{,}70\,£ : 3 = 0{,}90\,£$.
Damit entsprechen 2 € genau $2\cdot0{,}90\,£=1{,}80\,£$.
Fehler 3: Beim antiproportionalen Dreisatz gleichsinnig rechnen
Wird eine Geschwindigkeit für dieselbe Strecke von 60 km/h auf 120 km/h verdoppelt, halbiert sich die Zeit. Aus 6 Stunden werden 3 Stunden, nicht 12 Stunden.
Fehler 4: Ein unpassendes Modell erzwingen
Frage vor der Rechnung:
- Bleibt der Wert pro Einheit gleich?
- Bleibt eine Gesamtmenge oder Gesamtarbeit gleich?
- Sind die nötigen Bedingungen im Sachtext genannt oder sinnvoll vorausgesetzt?
- Passt das Ergebnis zu „mehr“, „weniger“ und zur Einheit?
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Zuordnungen unterscheiden
- proportional: konstanter Wert pro Einheit
- antiproportional: konstantes Produkt
- weder noch: keine passende Konstante
- Zuordnungen berechnen
- proportional: gleiche Operation
- antiproportional: entgegengesetzte Operation
- Zuordnungen prüfen
- Tabelle: Quotient oder Produkt
- Formel: $y=kx$ oder $y=k:x$
- Graph: Ursprungsgerade oder Hyperbel
- Ergebnisse beurteilen
- Einheit beachten
- Plausibilität prüfen
- Modellbedingungen prüfen
Abschluss-Check
Du bist fertig, wenn du nicht nur rechnen, sondern vor jeder Rechnung die Zuordnungsart begründen und danach Einheit, Plausibilität und Modellbedingungen prüfen kannst.