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Dreisatz: proportional und antiproportional rechnen
Mit dem Dreisatz berechnest du aus bekannten zusammengehörigen Werten einen fehlenden Wert. Vor dem Rechnen musst du entscheiden: Ist der Zusammenhang proportional, antiproportional oder keines von beiden?
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Welcher Zusammenhang liegt vor?
Zwei Größen bilden eine Zuordnung, wenn Werte der einen Größe zu Werten der anderen Größe gehören. Beim Dreisatz kommen vor allem zwei Arten vor.
| Zusammenhang | Veränderung | Unveränderliche Größe | Beispiel |
|---|---|---|---|
| proportional | mehr führt zu entsprechend mehr | Quotient | mehr Kugeln Eis kosten mehr |
| antiproportional | mehr führt zu entsprechend weniger | Produkt | mehr Bagger brauchen weniger Zeit |
| keiner von beiden | kein festes Verhältnis oder Produkt | keine passende Konstante | Lebensalter und Körperlänge |
Proportionale Zuordnung
Eine Zuordnung ist proportional, wenn sich beide Größen mit demselben Faktor verändern. Verdoppelt sich die eine Größe, verdoppelt sich auch die andere. Der Quotient zusammengehöriger Werte bleibt gleich.
Antiproportionale Zuordnung
Eine Zuordnung ist antiproportional oder umgekehrt proportional, wenn sich die Größen mit entgegengesetzten Faktoren verändern. Verdoppelt sich die eine Größe, halbiert sich die andere. Das Produkt zusammengehöriger Werte bleibt gleich.
Die Aussagen „mehr – mehr“ und „mehr – weniger“ sind erste Hinweise. Entscheidend ist aber, ob das Verhältnis beziehungsweise das Produkt wirklich konstant bleibt.
Wie funktioniert der proportionale Dreisatz?
Bei einem proportionalen Zusammenhang rechnest du in beiden Spalten immer mit derselben Operation.
- Schreibe die bekannte Zuordnung auf.
- Rechne auf
1oder auf einen anderen geeigneten Zwischenwert. - Rechne vom Zwischenwert auf den gesuchten Wert.
- Formuliere einen Antwortsatz und prüfe die Einheit.
Aufgabe: 3 Kugeln Eis kosten 5,40 €. Wie viel kosten 7 Kugeln?
Bekannt ist:
3 Kugeln ≙ 5,40 €
Zuerst rechnen wir durch 3 auf eine Kugel. Auf beiden Seiten geschieht dasselbe:
1 Kugel ≙ 1,80 €
Danach rechnen wir beide Seiten mal 7:
7 Kugeln ≙ 12,60 €
Antwort: Sieben Kugeln kosten 12,60 €.
Die Probe bestätigt das Ergebnis: Der Preis je Kugel beträgt in beiden Zeilen 1,80 €.
Du musst nicht immer auf 1 rechnen. Bei 15 kg ≙ 70 € und der Frage nach 9 kg ist 3 kg ein günstiger Zwischenwert:
- durch 5:
3 kg ≙ 14 € - mal 3:
9 kg ≙ 42 €
Proportional bedeutet: gleicher Faktor auf beiden Seiten. Der Zwischenwert 1 ist praktisch, aber nicht zwingend.
Wie funktioniert der antiproportionale Dreisatz?
Beim antiproportionalen Dreisatz bleibt eine Gesamtmenge gleich, etwa dieselbe Arbeit oder derselbe Brief. Wird eine Größe mit einem Faktor verändert, rechnest du bei der anderen Größe mit der umgekehrten Operation.
Aufgabe: Zehn gleich schnelle Bagger benötigen für eine Arbeit 20 Stunden. Wie lange benötigen fünf Bagger?
Die Baggerzahl wird durch 2 geteilt:
10 Bagger → 5 Bagger
Weniger Bagger brauchen für dieselbe Arbeit mehr Zeit. Deshalb wird die Zeit mit 2 multipliziert:
20 Stunden → 40 Stunden
Antwort: Fünf Bagger benötigen 40 Stunden.
Die Produktprobe stimmt:
10 · 20 = 200 und 5 · 40 = 200.
Antiproportional bedeutet: Operation umkehren. Teilst du auf der einen Seite durch einen Faktor, multiplizierst du auf der anderen Seite mit diesem Faktor.
Wie prüfst du Ergebnis und Rechenweg?
Eine Probe zeigt dir, ob dein Ergebnis zur Zuordnungsart passt.
Quotientenprobe bei proportionalen Zuordnungen
Teile in jeder Zeile dieselbe Größe durch die andere. Die Reihenfolge muss gleich bleiben.
Beim Eisbeispiel gilt:
5,40 € : 3 = 1,80 € pro Kugel
12,60 € : 7 = 1,80 € pro Kugel
Die Quotienten sind gleich. Das Ergebnis passt.
Produktprobe bei antiproportionalen Zuordnungen
Multipliziere die zusammengehörigen Werte.
Beim Baggerbeispiel gilt:
10 · 20 = 200
5 · 40 = 200
Die Produkte sind gleich. Das Ergebnis passt.
Typische Fehler vermeiden
- Sofort losrechnen: Prüfe zuerst die Zuordnungsart.
- Bei antiproportionalen Aufgaben gleich rechnen: Verwende auf der anderen Seite die umgekehrte Operation.
- Einheiten vergessen: Schreibe beispielsweise Euro, Kilogramm oder Stunden an die Werte.
- Unplausibles Ergebnis übernehmen: Mehr Ware darf bei gleichem Stückpreis nicht weniger kosten.
- Jede Zuordnung mit Dreisatz lösen: Lebensalter und Körperlänge besitzen kein konstantes Verhältnis und kein konstantes Produkt.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Dreisatz
- Zuordnung prüfen
- proportional, antiproportional oder keine von beiden
- proportional rechnen
- auf beiden Seiten dieselbe Operation
- antiproportional rechnen
- auf der anderen Seite die Operation umkehren
- Ergebnis prüfen
- Quotient, Produkt, Einheit und Plausibilität
- Zuordnung prüfen
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Abschlussfragen begründen kannst, beherrschst du den Kern des Dreisatzes: Zusammenhang prüfen, passend rechnen und das Ergebnis kontrollieren.