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Wurzelfunktion: Graph, Bereiche und Umkehrung
Eine Wurzelfunktion ordnet einer Zahl die passende Wurzel zu. Die Quadratwurzelfunktion $f(x)=\sqrt{x}$ macht das Quadrieren auf dem nichtnegativen Zahlenbereich rückgängig. Ihr Graph beginnt bei $(0|0)$ und steigt danach immer weiter an.
Auf dieser Seite lernst du, gerade und ungerade Wurzeln zu unterscheiden, ihre Graphen zu erkennen und Transformationen sowie Umkehrfunktionen zu bestimmen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was macht eine Wurzelfunktion?
Die Wurzelfunktion sucht die Zahl, deren passende Potenz den Radikanden ergibt. Der Radikand ist der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.
Wurzelfunktion
Eine einfache $n$-te Wurzelfunktion hat die Form
$$f(x)=\sqrt[n]{x}=x^{1/n}.$$
Die natürliche Zahl $n\ge 2$ heißt Wurzelexponent. Für $n=2$ schreibt man meist nur $\sqrt{x}$.
Für $f(x)=\sqrt{x}$ gilt:
- $f(0)=0$, denn $0^2=0$.
- $f(1)=1$, denn $1^2=1$.
- $f(25)=5$, denn $5^2=25$.
Der Funktionswert ist bei der Quadratwurzel immer die nichtnegative Hauptwurzel. Deshalb ist $\sqrt{25}=5$ und nicht $-5$, obwohl auch $(-5)^2=25$ gilt.
Wurzelziehen und Potenzieren mit dem passenden Exponenten machen einander auf geeigneten Zahlenbereichen rückgängig.
Gerade und ungerade Wurzeln unterscheiden
Ob der Wurzelexponent gerade oder ungerade ist, entscheidet darüber, welche Eingaben erlaubt sind.
Gerade Wurzelexponenten
Bei $f(x)=\sqrt[n]{x}$ mit geradem $n$ darf der Radikand im Bereich der reellen Zahlen nicht negativ sein. Auch die Funktionswerte sind nichtnegativ.
$$D=[0,\infty), \qquad W=[0,\infty)$$
Dabei steht $D$ für den Definitionsbereich, also alle erlaubten Eingaben. $W$ ist der Wertebereich, also die Menge aller möglichen Ausgaben.
Ungerade Wurzelexponenten
Bei ungeradem $n$ sind auch negative Radikanden erlaubt. Zum Beispiel gilt $\sqrt[3]{-8}=-2$, weil $(-2)^3=-8$.
$$D=\mathbb{R}, \qquad W=\mathbb{R}$$
| Wurzelexponent | Erlaubte Eingaben | Mögliche Ausgaben |
|---|---|---|
| gerade | $x\ge 0$ | $f(x)\ge 0$ |
| ungerade | alle reellen Zahlen | alle reellen Zahlen |
So erkennst du die Grundgraphen
Alle einfachen Grundfunktionen $f(x)=\sqrt[n]{x}$ verlaufen durch $(0|0)$ und $(1|1)$. Auf ihrem jeweiligen Definitionsbereich sind sie streng monoton steigend: Wird die Eingabe größer, wird auch der Funktionswert größer.
Die Graphen wachsen unbegrenzt, werden für große positive Eingaben aber zunehmend flach.
Graph einer geraden Wurzel
Der Graph von $f(x)=\sqrt{x}$ beginnt bei $(0|0)$ und liegt vollständig im ersten Quadranten. Wegen seines einseitigen Definitionsbereichs ist er weder achsen- noch punktsymmetrisch.
Graph einer ungeraden Wurzel
Der Graph von $g(x)=\sqrt[3]{x}$ verläuft zusätzlich durch $(-1|-1)$. Er ist punktsymmetrisch zum Ursprung: Zu jedem Punkt $(x|y)$ gehört auch $(-x|-y)$.
Gerade Wurzel: Der Grundgraph beginnt im Ursprung. Ungerade Wurzel: Der Grundgraph setzt sich durch den Ursprung in den Bereich negativer Eingaben fort.
Transformationen am Term ablesen
Eine transformierte Wurzelfunktion kann so aussehen:
$$f(x)=a\sqrt[n]{x+b}+c.$$
Die Parameter verändern den Grundgraphen:
- $c$ verschiebt ihn vertikal: $c>0$ nach oben, $c<0$ nach unten.
- $b$ verschiebt ihn horizontal mit umgekehrtem Vorzeichen: $x+b$ bedeutet eine Verschiebung nach links.
- $|a|>1$ streckt den Graphen vertikal.
- $0<|a|<1$ staucht ihn vertikal.
- $a<0$ spiegelt ihn zusätzlich an der $x$-Achse.
Untersuche $f(x)=2\sqrt{x-3}+1$.
- Wegen $x-3$ wird der Quadratwurzelgraph um $3$ nach rechts verschoben.
- Der Faktor $2$ streckt ihn vertikal.
- Der Summand $1$ verschiebt ihn um $1$ nach oben.
- Für den Radikanden gilt $x-3\ge 0$. Deshalb ist $D=[3,\infty)$.
- Die kleinste Ausgabe entsteht bei $x=3$: $f(3)=1$. Deshalb ist $W=[1,\infty)$.
Der neue Startpunkt ist $(3|1)$. Als Kontrolle gilt $f(7)=2\sqrt{4}+1=5$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei $g(x)=\sqrt{x+4}-2$ wird der Grundgraph um und um verschoben. Sein Startpunkt hat die Koordinaten $x=$ und $y=$.
Wurzelfunktion als Umkehrfunktion
Eine Umkehrfunktion vertauscht Eingabe und Ausgabe. Ihre Graphen sind Spiegelbilder an der Geraden $y=x$.
Die Quadratfunktion $p(x)=x^2$ besitzt auf ganz $\mathbb{R}$ keine Umkehrfunktion: Die Eingaben $2$ und $-2$ liefern beide die Ausgabe $4$. Beschränkt man sie auf $x\ge 0$, ist jede Ausgabe eindeutig einer Eingabe zugeordnet.
Auf diesem eingeschränkten Bereich gilt:
$$p(x)=x^2 \quad\Longleftrightarrow\quad p^{-1}(x)=\sqrt{x}.$$
Die Eingabe $3$ liefert bei der eingeschränkten Quadratfunktion die Ausgabe $9$:
$$3\longmapsto 9.$$
Die Umkehrfunktion vertauscht diesen Weg:
$$9\longmapsto 3,$$
also $\sqrt{9}=3$.
Bei ungeradem Exponenten ist keine solche Einschränkung nötig. Die Funktion $x^3$ ist auf ganz $\mathbb{R}$ streng steigend und wird durch $\sqrt[3]{x}$ umgekehrt.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Wurzelfunktion
- Bedeutung: macht eine passende Potenzierung rückgängig
- Gerade Wurzel: Eingaben und Ausgaben nichtnegativ
- Ungerade Wurzel: alle reellen Eingaben und Ausgaben
- Grundgraph: streng steigend und durch $(0|0)$ sowie $(1|1)$
- Transformationen: verschieben, strecken, stauchen oder spiegeln
- Umkehrung: Spiegelung des Graphen an $y=x$
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Fragen begründen kannst, kannst du einfache Wurzelfunktionen an ihrem Term und Graphen erkennen, ihre Bereiche bestimmen und ihre Veränderungen erklären.