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Wurzelgleichungen lösen: Verfahren und Probe
Wurzelgleichungen löst du, indem du die Definitionsbedingungen prüfst, eine Wurzel isolierst, beide vollständigen Seiten potenzierst und am Ende jeden Kandidaten in der Ursprungsgleichung testest. Die Probe ist unverzichtbar, weil beim Quadrieren Scheinlösungen entstehen können.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wann ist eine Gleichung eine Wurzelgleichung?
Wurzelgleichung
Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, bei der die Variable im Radikanden einer Wurzel steht. Der Radikand ist der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.
Ein Beispiel ist
$$\sqrt{x+2}=6.$$
Dagegen ist $\sqrt{9}+x=7$ keine Wurzelgleichung: Die Variable steht nicht unter der Wurzel, und die konstante Wurzel lässt sich direkt berechnen.
Bei einer reellen Quadratwurzel muss der Radikand mindestens null sein. Für $\sqrt{x+2}$ gilt daher
$$x+2\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge -2.$$
Das ist die Definitionsbedingung. Bei mehreren geraden Wurzeln müssen alle Radikanden nichtnegativ sein. Ungerade Wurzeln wie die dritte Wurzel sind dagegen auch für negative Radikanden definiert.
Das sichere Verfahren
Gehe bei Quadratwurzeln in dieser Reihenfolge vor:
- Definitionsbedingungen bestimmen: Setze jeden Radikanden einer Quadratwurzel mindestens null.
- Wurzel isolieren: Bringe die übrigen Terme möglichst auf die andere Seite.
- Vollständige Seiten quadrieren: Quadriere alles, was links und rechts vom Gleichheitszeichen steht.
- Restgleichung lösen: Löse die entstandene lineare oder quadratische Gleichung.
- Probe durchführen: Setze jeden Kandidaten in die ursprüngliche Wurzelgleichung ein.
Definitionsbedingung, isolieren, potenzieren, Restgleichung lösen, Probe: Erst die Probe entscheidet, welche Kandidaten wirklich Lösungen sind.
Bei einer $n$-ten Wurzel verwendest du die $n$-te Potenz: Eine dritte Wurzel beseitigst du durch Kubieren, eine vierte Wurzel durch die vierte Potenz.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Bei einer Quadratwurzel muss der Radikand sein. Vor dem Quadrieren wird die Wurzel möglichst . Potenziert werden beide . Zum Schluss werden alle Kandidaten in der geprüft.
Beispiel: eine Wurzel vollständig lösen
Löse
$$\sqrt{x+2}=6.$$
1. Definitionsbedingung:
$$x+2\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge -2.$$
2. Isolation: Die Wurzel steht bereits allein.
3. Beide Seiten quadrieren:
$$\left(\sqrt{x+2}\right)^2=6^2$$
$$x+2=36$$
4. Restgleichung lösen:
$$x=34$$
5. Probe in der Ursprungsgleichung:
$$\sqrt{34+2}=\sqrt{36}=6$$
Die Aussage stimmt. Deshalb ist die Lösungsmenge $L=\{34\}$.
Warum ist das Isolieren so hilfreich? Würdest du bei
$$\sqrt{x+2}-2=4$$
sofort die linke Seite quadrieren, entstünde
$$\left(\sqrt{x+2}-2\right)^2=x+6-4\sqrt{x+2}.$$
Die Wurzel wäre noch vorhanden. Einfacher ist zuerst
$$\sqrt{x+2}=6$$
und danach die Rechnung aus dem Beispiel.
Warum beim Quadrieren Scheinlösungen entstehen
Quadrieren ist nicht eindeutig umkehrbar: Aus $3^2=(-3)^2$ kannst du nicht schließen, dass $3=-3$ gilt. Deshalb kann die quadrierte Gleichung mehr Lösungen haben als die ursprüngliche Gleichung.
Betrachte
$$\sqrt{x+5}=x+1.$$
Die linke Seite ist nie negativ. Deshalb muss zusätzlich $x+1\ge 0$ gelten.
Nach dem Quadrieren erhältst du
$$x+5=(x+1)^2=x^2+2x+1$$
und damit
$$x^2+x-4=0.$$
Die beiden Kandidaten sind
$$x_1=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\approx 1{,}56$$
und
$$x_2=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\approx -2{,}56.$$
Für $x_1$ sind beide Seiten der Ursprungsgleichung ungefähr $2{,}56$. Dieser Kandidat ist eine Lösung.
Für $x_2$ ist die linke Seite ungefähr $1{,}56$, die rechte Seite aber ungefähr $-1{,}56$. Dieser Kandidat ist eine Scheinlösung und wird ausgeschlossen.
Scheinlösung
Eine Scheinlösung erfüllt eine umgeformte Gleichung, aber nicht die ursprüngliche Gleichung. Sie gehört deshalb nicht zur Lösungsmenge.
Mehrere und verschachtelte Wurzeln lösen
Bei mehreren Wurzeln wiederholst du bei Bedarf die Schritte isolieren und quadrieren.
Zwei Wurzeln gegenüberstellen
Löse
$$\sqrt{6x+2}-\sqrt{3x+5}=0.$$
Beide Radikanden müssen nichtnegativ sein. Die beiden Wurzeln lassen sich direkt gegenüberstellen:
$$\sqrt{6x+2}=\sqrt{3x+5}.$$
Nun quadrierst du beide vollständigen Seiten:
$$6x+2=3x+5$$
$$3x=3$$
$$x=1.$$
Die Probe ergibt $\sqrt{8}-\sqrt{8}=0$. Daher ist $L=\{1\}$.
Eine verschachtelte Wurzel
Löse
$$\sqrt{\sqrt{6x+1}-4}=1.$$
Zuerst beseitigst du die äußere Wurzel:
$$\sqrt{6x+1}-4=1.$$
Dann isolierst du die verbleibende Wurzel und quadrierst erneut:
$$\sqrt{6x+1}=5$$
$$6x+1=25$$
$$x=4.$$
Die Probe lautet
$$\sqrt{\sqrt{6\cdot4+1}-4}=\sqrt{\sqrt{25}-4}=\sqrt{1}=1.$$
Somit ist $L=\{4\}$.
Typische Fehler vermeiden
Nur einzelne Terme quadrieren
Aus
$$\sqrt{x+7}-1=\sqrt{x+2}$$
folgt beim Quadrieren der vollständigen linken Seite
$$\left(\sqrt{x+7}-1\right)^2=x+7-2\sqrt{x+7}+1.$$
Der mittlere Term darf nicht fehlen. Die falsche Umformung $x+7+1$ ignoriert die binomische Formel.
Definitionsbedingung mit der Probe verwechseln
Die Definitionsbedingung sagt nur, für welche Werte die Wurzeln überhaupt reell definiert sind. Sie beweist noch nicht, dass ein Wert die Gleichung erfüllt. Die Probe prüft zusätzlich die Gleichheit beider Seiten.
In der falschen Gleichung prüfen
Setze Kandidaten immer in die Ursprungsgleichung ein. Eine Probe in einer bereits quadrierten Gleichung kann eine Scheinlösung nicht entlarven.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Wurzelgleichungen lösen
- Definitionsbedingungen prüfen
- Wurzel isolieren
- Vollständige Seiten potenzieren
- Restgleichung lösen
- Kandidaten in der Ursprungsgleichung prüfen
- Scheinlösungen ausschließen