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Wurzelgleichungen sehen oft ungewohnt aus, weil die gesuchte Zahl unter einer Wurzel steht. Danach kannst du Wurzeln isolieren, quadrieren und mit einer Probe falsche Lösungen aussortieren.
- Ich kann Wurzelgleichungen erkennen.
- Ich kann eine Wurzel isolieren und beide Seiten quadrieren.
- Ich kann erklären, warum eine Probe Pflicht ist.
- Ich kann Definitionsbedingungen beachten.
Was ist eine Wurzelgleichung?
Eine Gleichung ist eine Aussage mit Gleichheitszeichen. Bei einer Wurzelgleichung steht die Variable mindestens einmal unter einer Wurzel.
Wurzelgleichung
Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, in der die gesuchte Variable im Radikanden einer Wurzel vorkommt, zum Beispiel \(\sqrt{x+5}=4\).
Unter einer Quadratwurzel darf im Bereich der reellen Zahlen kein negativer Wert stehen.
Löse \(\sqrt{x+5}=4\).
Definitionsbedingung: \(x+5 \ge 0\), also \(x \ge -5\). Quadrieren: \(x+5 = 16\). Subtrahieren: \(x = 11\). Probe: \(\sqrt{11+5}=\sqrt{16}=4\).
Die Lösung ist \(x=11\).
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Erst isolieren, dann quadrieren
Isolieren bedeutet: Bringe die Wurzel allein auf eine Seite. Sonst quadrierst du einen ganzen Ausdruck und machst die Aufgabe unnötig schwer oder falsch.
Löse \(\sqrt{x-1}+3=8\).
Erst isolieren: \(\sqrt{x-1}=5\). Quadrieren: \(x-1=25\). Addieren: \(x=26\). Probe: \(\sqrt{26-1}+3=5+3=8\).
Die Lösung ist \(x=26\).
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Warum die Probe Pflicht ist
Beim Quadrieren können aus einer falschen Gleichung richtige quadrierte Gleichungen entstehen. Deshalb prüfst du am Ende in der Ausgangsgleichung.
Löse \(\sqrt{x+1}=x-1\).
Definitionsbedingungen: \(x+1\ge0\) und \(x-1\ge0\), also \(x\ge1\). Quadrieren: \(x+1=(x-1)^2=x^2-2x+1\). Umstellen: \(0=x^2-3x=x(x-3)\). Kandidaten: \(x=0\) oder \(x=3\). Probe: \(x=0\) passt nicht zur Bedingung \(x\ge1\). Für \(x=3\): \(\sqrt{4}=2\) und \(3-1=2\).
Die Lösung ist \(x=3\).
Prüfungsmodus
Schreibe bei Wurzelgleichungen nicht nur den Kandidaten hin. Eine vollständige Lösung enthält Bedingung, Umformungen und Probe.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Bei Wurzelgleichungen bringst du die Wurzel zuerst allein auf eine Seite. Dann quadrierst du beide Seiten und löst die entstehende Gleichung. Am Ende ist die Probe in der Ausgangsgleichung Pflicht.