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Betrag einer Zahl: Abstand zur Null verstehen
Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von der Null auf dem Zahlenstrahl. Deshalb ist ein Betrag nie negativ: Zum Beispiel gilt $|-4|=4$ und $|4|=4$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was bedeutet der Betrag?
Stell dir den Zahlenstrahl vor: Die Zahl $-5$ liegt fünf Längeneinheiten links von $0$. Die Zahl $5$ liegt fünf Längeneinheiten rechts von $0$. Beide Zahlen haben also denselben Abstand zur Null.
Betrag
Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von $0$. Du schreibst die Zahl zwischen zwei senkrechte Striche: $|x|$.
Daher gilt:
- $|5|=5$
- $|-5|=5$
- $|0|=0$
$5$ und $-5$ heißen Gegenzahlen. Allgemein ist $-x$ die Gegenzahl von $x$. Nur $0$ ist ihre eigene Gegenzahl; alle anderen Gegenzahlen haben entgegengesetzte Vorzeichen und denselben Betrag.
Ein Betrag ist nichtnegativ. Er kann positiv oder null sein, aber niemals negativ.
Wie bestimmst du einen Betrag?
Du kannst dich immer fragen: Wie weit liegt die Zahl von der Null entfernt?
- Ist die Zahl positiv, bleibt sie unverändert: $|8|=8$.
- Ist die Zahl negativ, ist ihr Betrag die Gegenzahl: $|-8|=8$.
- Ist die Zahl null, ist auch ihr Betrag null: $|0|=0$.
Formal lässt sich die Regel so ausdrücken:
- Für $x\ge 0$ gilt $|x|=x$.
- Für $x<0$ gilt $|x|=-x$.
Das zweite Minus bedeutet: Bilde die Gegenzahl. Setzt du etwa $x=-8$ ein, erhältst du $-x=-(-8)=8$.
Bestimme $|-12|$.
$-12$ liegt zwölf Längeneinheiten von $0$ entfernt. Deshalb gilt:
$$|-12|=12$$
Das Ergebnis ist plausibel, denn ein Abstand kann nicht negativ sein.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Der Betrag von $-6$ ist . Der Betrag von $0$ ist . Die Zahlen $9$ und $-9$ haben den Betrag.
Wie rechnest du mit Beträgen in Termen?
Steht ein Term zwischen den Betragsstrichen, rechnest du zuerst innerhalb der Striche. Danach bestimmst du den Betrag. Rechnungen außerhalb der Striche kommen zuletzt.
Berechne $|4-9|+2$.
- Zuerst rechnest du innerhalb der Betragsstriche: $4-9=-5$.
- Dann bildest du den Betrag: $|-5|=5$.
- Zum Schluss rechnest du außerhalb weiter: $5+2=7$.
Also gilt:
$$|4-9|+2=7$$
Bei verschachtelten Beträgen arbeitest du von innen nach außen.
Betragsstriche wirken beim Rechnen ähnlich wie Klammern: Berechne zuerst ihren Inhalt und bilde anschließend dessen Betrag.
Wie misst der Betrag den Abstand zweier Zahlen?
Der Betrag kann auch den Abstand zwischen zwei Zahlen angeben. Für zwei Zahlen $a$ und $b$ gilt:
$$\text{Abstand}=|a-b|$$
Die Reihenfolge spielt für das Ergebnis keine Rolle, weil die beiden möglichen Differenzen Gegenzahlen sind.
Wie groß ist der Abstand zwischen $-3$ und $5$?
Bilde die Differenz und anschließend ihren Betrag:
$$|5-(-3)|=|8|=8$$
Die Zahlen liegen also acht Längeneinheiten auseinander.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Betrag einer Zahl
- bedeutet Abstand zur Null
- ist immer nichtnegativ
- ist bei Gegenzahlen gleich
- wird mit Betragsstrichen geschrieben
- folgt bei Termen auf die innere Rechnung
- misst mit $|a-b|$ den Abstand zweier Zahlen
Abschluss-Check
Du hast den Grundgedanken verstanden, wenn du bei jedem Betrag zuerst an einen Abstand denkst. So vermeidest du den typischen Fehler, einen negativen Betrag als Ergebnis anzugeben.