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Ganze Zahlen: verstehen, ordnen und rechnen
Ganze Zahlen sind die positiven natürlichen Zahlen, die Zahl $0$ und die negativen Zahlen: $\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots$. Du brauchst sie zum Beispiel für Temperaturen unter null, Schulden oder Untergeschosse.
Auf dieser Seite lernst du, ganze Zahlen zu erkennen, zu vergleichen und mit ihnen zu rechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du ganze Zahlen?
Ganze Zahlen lassen sich ohne Bruch- oder Nachkommaanteil schreiben. Ihr Mengensymbol ist $\mathbb Z$.
Beispiele für ganze Zahlen sind $13$, $0$ und $-4$. Die Zahl $1{,}5$ ist dagegen keine ganze Zahl.
Negative Zahl
Eine negative Zahl steht links von $0$ und trägt ein Minuszeichen, zum Beispiel $-5$. Das Minuszeichen gehört hier zur Zahl und heißt Vorzeichen.
Die Zahl $0$ ist weder positiv noch negativ. Bei positiven Zahlen lässt man das Pluszeichen meistens weg: $3$ und $+3$ bezeichnen dieselbe Zahl.
Ganze Zahlen beschreiben Werte relativ zu einem Bezugspunkt:
- $-3\,°\mathrm C$ bedeutet drei Grad unter null.
- $-2$ kann im Aufzug das zweite Untergeschoss bezeichnen.
- $-100\,€$ kann für 100 Euro Schulden stehen.
Ein Aufzug startet im zweiten Untergeschoss bei $-2$ und fährt drei Stockwerke nach oben:
$$-2+3=1$$
Er hält im ersten Obergeschoss.
Wie ordnest du ganze Zahlen?
Auf der Zahlengeraden liegen negative Zahlen links von $0$ und positive Zahlen rechts davon. Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto größer ist sie.
Deshalb gilt $-2>-5$. Obwohl $5$ größer als $2$ ist, liegt $-5$ weiter links als $-2$.
Betrag
Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von $0$. Er ist nie negativ. So gilt $|-4|=4$ und $|4|=4$.
Gegenzahl
Die Gegenzahl hat denselben Betrag, aber das entgegengesetzte Vorzeichen. Die Gegenzahl von $5$ ist $-5$. Beide ergeben zusammen $0$.
Das Vorzeichen zeigt die Seite von $0$. Der Betrag zeigt nur den Abstand von $0$.
Wie addierst du ganze Zahlen?
Du kannst eine Addition als Bewegung auf der Zahlengeraden lesen:
- Eine positive Zahl addieren: nach rechts gehen.
- Eine negative Zahl addieren: nach links gehen.
Bei $-5+2$ startest du bei $-5$ und gehst zwei Schritte nach rechts:
$$-5+2=-3$$
Für Rechnungen ohne Zahlengerade helfen zwei Regeln.
Gleiche Vorzeichen: Addiere die Beträge und übernimm das gemeinsame Vorzeichen.
$$-5+(-2)=-7$$
Unterschiedliche Vorzeichen: Ziehe den kleineren Betrag vom größeren ab. Das Ergebnis erhält das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag.
$$5+(-8)=-3$$
Bei unterschiedlichen Vorzeichen entscheidet nicht die zuerst stehende Zahl, sondern die Zahl mit dem größeren Betrag über das Vorzeichen des Ergebnisses.
Wie subtrahierst du ganze Zahlen?
Beim Subtrahieren addierst du die Gegenzahl der Zahl, die abgezogen wird:
$$a-b=a+(-b)$$
Achte darauf, Vorzeichen und Rechenzeichen zu unterscheiden. In $5-(-3)$ ist das erste Minus ein Rechenzeichen. Das zweite Minus ist das Vorzeichen der Zahl $-3$.
Du ersetzt die Subtraktion von $-3$ durch die Addition der Gegenzahl $3$:
$$5-(-3)=5+3=8$$
Das Ergebnis ist größer als $5$, weil das Abziehen einer negativen Zahl wie das Addieren der entsprechenden positiven Zahl wirkt.
Auch $3-5$ lässt sich so verstehen:
$$3-5=-2$$
Die ganzen Zahlen ermöglichen damit Subtraktionen, deren Ergebnis nicht natürlich ist.
Wie funktionieren Multiplikation und Division?
Bei der Multiplikation rechnest du zuerst mit den Beträgen. Danach bestimmst du das Vorzeichen:
- gleiche Vorzeichen: positives Ergebnis;
- unterschiedliche Vorzeichen: negatives Ergebnis.
Bei $(-3)\cdot(-7)$ sind beide Vorzeichen gleich. Daher ist das Produkt positiv:
$$(-3)\cdot(-7)=21$$
Für die Division gelten dieselben Vorzeichenregeln. Eine Division bleibt aber nur dann in der Menge der ganzen Zahlen, wenn ein ganzzahliges Ergebnis entsteht.
$(-24):6=-4$, weil die Vorzeichen verschieden sind und $24:6=4$ gilt.
Dagegen ist $7:2=\frac{7}{2}=3{,}5$ keine ganze Zahl. Als Division mit Rest lässt sich das Ergebnis auch als $3$ Rest $1$ angeben.
Durch $0$ kann nicht dividiert werden.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Ganze Zahlen
- Erkennen: negativ, null oder positiv
- Deuten: Temperatur, Stockwerk oder Kontostand
- Ordnen: weiter rechts bedeutet größer
- Beschreiben: Vorzeichen, Betrag und Gegenzahl
- Addieren: Richtung oder Beträge beachten
- Subtrahieren: Gegenzahl addieren
- Multiplizieren und dividieren: Vorzeichen vergleichen
Abschluss-Check
Wenn du ganze Zahlen sicher deuten willst, trenne immer drei Fragen: Wo liegt die Zahl? Welchen Betrag hat sie? Welche Rechenoperation wird ausgeführt?