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Fermi-Aufgaben lösen: Schätzen mit Plan
Bei einer Fermi-Aufgabe fehlen zunächst wichtige Angaben. Du zerlegst die Frage, triffst begründete Annahmen und berechnest eine realistische Näherung. Dabei können mehrere Ergebnisse vertretbar sein – Rechenfehler oder unpassende Annahmen sind es jedoch nicht.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine Fermi-Aufgabe?
Eine Frage wie „Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago?“ wirkt zunächst unlösbar: Die benötigte Zahl steht nicht in der Aufgabe. Trotzdem kannst du dich ihr schrittweise nähern.
Fermi-Aufgabe
Eine Fermi-Aufgabe ist eine Frage nach einer Zahl, obwohl wichtige Daten fehlen. Du beschaffst oder schätzt passende Werte, bildest daraus ein mathematisches Modell und begründest eine Näherung.
Typische Merkmale sind:
- Du musst zuerst herausfinden, welche Angaben fehlen.
- Du darfst sinnvoll schätzen, messen, zählen oder nachfragen.
- Du zerlegst die große Frage in kleinere Teilfragen.
- Du erklärst deine Annahmen und Rechenschritte.
- Unterschiedliche Annahmen können zu unterschiedlichen Näherungen führen.
Wie gehst du Schritt für Schritt vor?
Nutze diesen Arbeitsplan:
- Frage klären: Was soll ungefähr bestimmt werden?
- Teilfragen bilden: Welche kleineren Größen führen zum Ergebnis?
- Daten planen: Was kannst du zählen, messen oder begründet schätzen?
- Annahmen notieren: Welchen Wert verwendest du – und warum?
- Modell bilden: Wie hängen die Größen mathematisch zusammen?
- Rechnen: Achte auf passende Einheiten.
- Ergebnis deuten: Formuliere eine Antwort zur Ausgangsfrage.
- Plausibilität prüfen: Passt die Größenordnung zur Wirklichkeit?
Eine gute Näherung besteht nicht nur aus einer Zahl. Sie umfasst Annahmen, Rechenweg, Einheit und Plausibilitätsprüfung.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Zuerst zerlegst du die große Frage in . Danach sammelst oder schätzt du passende . Am Ende prüfst du die deines Ergebnisses.
Wie entsteht eine vollständige Näherung?
Eine Schülerlösung untersucht, wie viele Nadeln eine Tanne ungefähr hat. Dazu wird der Baum schrittweise in kleinere Teile zerlegt.
1. Einen kleinen Teil untersuchen
Für ein etwa 15 cm langes Ästchen werden ungefähr 160 Nadeln angenommen.
2. Auf einen normalen Ast hochrechnen
Ein normaler Ast besteht nach der Annahme aus etwa 15 solchen Abschnitten:
$$160 \cdot 15 = 2.400$$
Das ergibt ungefähr 2.400 Nadeln je normalem Ast.
3. Auf einen Hauptast hochrechnen
Für einen Hauptast werden durchschnittlich 14 normale Äste angenommen:
$$2.400 \cdot 14 = 33.600$$
Das ergibt ungefähr 33.600 Nadeln je Hauptast.
4. Auf den ganzen Baum hochrechnen
Für den Baum werden etwa 200 Hauptäste angenommen:
$$33.600 \cdot 200 = 6.720.000$$
Gerundet lautet die Näherung: Die Tanne hat etwa 7 Millionen Nadeln.
5. Das Ergebnis prüfen
Die Multiplikationen passen zum gewählten Modell. Die Endzahl ist trotzdem nicht exakt, denn Anzahl und Größe der Äste sowie die Nadeldichte können innerhalb des Baums schwanken. Zusätzliche Stichproben könnten die Annahmen verbessern.
Wie prüfst du eine Näherung und die Aufgabe selbst?
Prüfe eine Fermi-Lösung mit vier Fragen:
- Passen die Daten? Stammt die Stichprobe aus einer geeigneten Auswahl?
- Passen die Rechenoperationen? Bildet die Rechnung den beschriebenen Zusammenhang ab?
- Passen die Einheiten? Wurden Längen, Zeiten, Gewichte oder andere Größen richtig umgerechnet?
- Passt die Größenordnung? Ist das Ergebnis für die Situation vorstellbar?
Aufgabe: Untersuche die Tannenrechnung
Nutze die Angaben aus dem Beispiel.
- Wie viele Nadeln ergeben sich rechnerisch für den ganzen Baum?
- Nenne zwei Annahmen, von denen das Ergebnis besonders abhängt.
- Erkläre, warum „etwa 7 Millionen“ treffender ist als „genau 6.720.000“.
Lösung
Die Rechnung lautet:
$$160 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 200 = 6.720.000$$
Das Modell ergibt rechnerisch 6.720.000 Nadeln. Entscheidend sind unter anderem die Annahmen von etwa 160 Nadeln je Ästchen und etwa 200 Hauptästen. Auch die angenommenen 15 Abschnitte je Ast und 14 Äste je Hauptast beeinflussen das Ergebnis.
Die Ausgangswerte sind geschätzt und können innerhalb des Baums schwanken. Deshalb täuscht die genaue Zahl 6.720.000 eine nicht vorhandene Genauigkeit vor. Etwa 7 Millionen Nadeln drückt den Näherungscharakter besser aus.
Ist jede überraschende Frage eine gute Aufgabe?
Offenheit allein macht eine Aufgabe noch nicht wertvoll. Prüfe zusätzlich:
- Hilft dir die Aufgabe, ein wichtiges mathematisches Muster zu verstehen?
- Behandelt sie eine bedeutsame Situation oder nur eine kuriose Zahl?
- Kannst du Annahmen und Ergebnis sinnvoll überprüfen?
Aufgaben zu Reisezeit, Kosten einer Klassenfahrt oder Stromverbrauch können bei echten Entscheidungen helfen. Auch eine ungewöhnliche Frage kann nützlich sein, wenn sie einen klaren mathematischen Lernweg eröffnet.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Fermi-Aufgabe
- Erkennen: Wichtige Daten fehlen
- Planen: Teilfragen und Annahmen bilden
- Untersuchen: Daten messen oder schätzen
- Modellieren: Größen mathematisch verknüpfen
- Berechnen: Einheiten beachten und hochrechnen
- Prüfen: Annahmen, Rechnung und Größenordnung bewerten
- Vergleichen: Andere Lösungswege nachvollziehen