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Fünfeck: Arten, Winkel und Formeln erklärt
Ein Fünfeck oder Pentagon ist ein Vieleck mit fünf Ecken und fünf Seiten. Bei einem einfachen Fünfeck beträgt die Summe der Innenwinkel immer $540^\circ$. Ist das Fünfeck regelmäßig, sind zusätzlich alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel jeweils $108^\circ$ groß.
Auf dieser Seite lernst du, Fünfecke zu unterscheiden, Winkel zu berechnen und die wichtigsten Größen eines regelmäßigen Fünfecks zu bestimmen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Fünfecke erkennen und unterscheiden
Ein Fünfeck hat genau fünf Eckpunkte. Verbindest du jeweils zwei benachbarte Eckpunkte durch eine Strecke, entstehen seine fünf Seiten.
Einfaches Fünfeck
Bei einem einfachen Fünfeck schneiden sich nicht benachbarte Seiten nicht. Nur benachbarte Seiten treffen sich an ihrem gemeinsamen Eckpunkt.
Einfache Fünfecke können konvex oder konkav sein:
- Bei einem konvexen Fünfeck sind alle Innenwinkel kleiner als $180^\circ$.
- Bei einem konkaven Fünfeck ist mindestens ein Innenwinkel größer als $180^\circ$. Die Figur wirkt an dieser Stelle nach innen eingedellt.
- Bei einem überschlagenen Fünfeck schneiden sich mindestens zwei nicht benachbarte Seiten. Es ist daher kein einfaches Fünfeck.
Gleichseitig bedeutet nur: Alle fünf Seiten sind gleich lang. Regelmäßig bedeutet mehr: Alle fünf Seiten sind gleich lang und alle fünf Innenwinkel sind gleich groß.
Gleich lange Seiten allein machen ein Fünfeck noch nicht regelmäßig. Auch die fünf Innenwinkel müssen gleich groß sein.
Die Innenwinkelsumme beträgt 540 Grad
Für ein einfaches Fünfeck gilt die Vieleckformel
$$(n-2)\cdot 180^\circ.$$
Dabei ist $n$ die Anzahl der Ecken. Setzt du $n=5$ ein, erhältst du
$$(5-2)\cdot 180^\circ=3\cdot 180^\circ=540^\circ.$$
Warum erscheint die Zahl 3? Durch geeignete Diagonalen lässt sich ein einfaches Fünfeck in drei Dreiecke zerlegen. Jedes Dreieck hat eine Winkelsumme von $180^\circ$. Deshalb ergeben die drei Dreiecke zusammen $540^\circ$.
Vier Innenwinkel eines Fünfecks messen $100^\circ$, $110^\circ$, $95^\circ$ und $120^\circ$. Gesucht ist der fünfte Winkel $x$.
Zuerst addierst du die bekannten Winkel:
$$100^\circ+110^\circ+95^\circ+120^\circ=425^\circ.$$
Dann ziehst du diese Summe von $540^\circ$ ab:
$$x=540^\circ-425^\circ=115^\circ.$$
Der fünfte Innenwinkel beträgt also $115^\circ$. Zur Kontrolle ergeben alle fünf Winkel zusammen $540^\circ$.
Beim regelmäßigen Fünfeck entstehen feste Winkel
Ein regelmäßiges Fünfeck besitzt einen Mittelpunkt. Verbindest du ihn mit allen fünf Ecken, entstehen fünf deckungsgleiche gleichschenklige Dreiecke.
Die fünf Winkel am Mittelpunkt füllen gemeinsam einen Vollwinkel von $360^\circ$. Der Mittelpunktwinkel zwischen zwei benachbarten Eckpunkten ist daher
$$\frac{360^\circ}{5}=72^\circ.$$
In jedem Mittelpunktdreieck bleiben für die beiden gleich großen Basiswinkel zusammen
$$180^\circ-72^\circ=108^\circ.$$
Jeder Basiswinkel misst somit
$$\frac{108^\circ}{2}=54^\circ.$$
An jeder Ecke des Fünfecks treffen zwei solche Basiswinkel zusammen. Der Innenwinkel beträgt deshalb
$$54^\circ+54^\circ=108^\circ.$$
Du kannst denselben Wert auch direkt aus der Innenwinkelsumme berechnen:
$$\frac{540^\circ}{5}=108^\circ.$$
Im regelmäßigen Fünfeck gehören die Winkel $72^\circ$, $54^\circ$ und $108^\circ$ zusammen: Mittelpunktwinkel, halber Innenwinkel und ganzer Innenwinkel.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Ein regelmäßiges Fünfeck wird vom Mittelpunkt aus in deckungsgleiche Dreiecke zerlegt. Ihr Mittelpunktwinkel beträgt . Jeder Innenwinkel des Fünfecks misst .
Umfang und Fläche berechnen
Für die folgenden Formeln muss das Fünfeck regelmäßig und konvex sein. Es gelten:
- $a$: Seitenlänge
- $U$: Umfang
- $A$: Flächeninhalt
- $r$: Inkreisradius, also der senkrechte Abstand vom Mittelpunkt zu einer Seite
Der Umfang ist die Summe der fünf gleich langen Seiten:
$$U=5a.$$
Für die Fläche zerlegst du das Fünfeck in fünf Dreiecke. Jedes Dreieck hat die Grundseite $a$ und die Höhe $r$. Daher gilt
$$A=5\cdot\frac{a\cdot r}{2}=\frac{5}{2}ar.$$
Wenn nur die Seitenlänge bekannt ist, kannst du auch diese Formel verwenden:
$$A=\frac{a^2}{4}\sqrt{25+10\sqrt{5}}\approx1{,}72a^2.$$
Ein regelmäßiges Fünfeck hat die Seitenlänge $a=6\,\text{cm}$.
Für den Umfang gilt:
$$U=5\cdot6\,\text{cm}=30\,\text{cm}.$$
Für die Fläche verwendest du die Näherungsformel:
$$A\approx1{,}72\cdot(6\,\text{cm})^2.$$
Da $(6\,\text{cm})^2=36\,\text{cm}^2$ ist, folgt
$$A\approx1{,}72\cdot36\,\text{cm}^2=61{,}92\,\text{cm}^2.$$
Der Umfang beträgt $30\,\text{cm}$, die Fläche ungefähr $61{,}92\,\text{cm}^2$. Bei einer Fläche wird die Einheit quadriert.
Diagonalen bilden ein Pentagramm
Eine Diagonale verbindet zwei nicht benachbarte Ecken. Ein Fünfeck besitzt fünf Diagonalen. Zeichnest du im regelmäßigen Fünfeck alle fünf ein, entsteht ein fünfzackiger Stern: das Pentagramm.
Alle fünf Diagonalen haben dieselbe Länge $d$. Zwischen Diagonale und Seitenlänge gilt
$$d=\frac{1+\sqrt5}{2}a\approx1{,}618a.$$
Der Faktor
$$\Phi=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1{,}618$$
heißt Goldene Zahl. Deshalb verhält sich im regelmäßigen Fünfeck die Diagonale zur Seite wie $\Phi:1$. Auch die Schnittpunkte der Diagonalen teilen Strecken im Goldenen Schnitt: Die ganze Strecke verhält sich zum längeren Teil wie der längere zum kürzeren Teil.
Für $a=6\,\text{cm}$ ist die Diagonale ungefähr
$$d\approx1{,}618\cdot6\,\text{cm}=9{,}708\,\text{cm}.$$
Gerundet auf zwei Nachkommastellen ist die Diagonale etwa $9{,}71\,\text{cm}$ lang. Sie ist länger als die Seite; das passt zur Zeichnung und zum Faktor $1{,}618>1$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Fünfeck
- Merkmale: fünf Ecken und fünf Seiten
- Arten: konvex, konkav oder überschlagen
- Einfaches Fünfeck: Innenwinkelsumme $540^\circ$
- Regelmäßiges Fünfeck: gleiche Seiten und gleiche Winkel
- Winkel: $72^\circ$, $54^\circ$, $108^\circ$
- Umfang: $U=5a$
- Fläche: $A\approx1{,}72a^2$
- Diagonalen: Pentagramm und Goldener Schnitt
Abschluss-Check
Bearbeite die Fragen ohne in die vorherigen Kapitel zu schauen. Nutze danach die Rückmeldungen, um deinen Rechenweg zu prüfen.
Du kannst ein Fünfeck nun nicht nur an seinen fünf Seiten erkennen, sondern seine Art begründen, Winkel berechnen und beim regelmäßigen Fünfeck zentrale Größen bestimmen.