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Geobrett: Figuren spannen und Flächen vergleichen
Auf einem Geobrett spannst du Gummibänder zwischen Punkten. So kannst du geometrische Figuren herstellen, verändern, zeichnen und beschreiben. Besonders gut erkennst du dabei Seiten, Ecken, Lagebeziehungen und Flächeninhalte.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
So liest du ein 5×5-Geobrett
Ein 5×5-Geobrett besitzt fünf Punktreihen und fünf Punktspalten. Zwischen je zwei benachbarten Punkten liegt ein Abstand. Deshalb entstehen zwischen den Punkten vier Reihen und vier Spalten mit kleinen Quadraten.
Für die Aufgaben auf dieser Seite bezeichnen wir die Punkte wie in einem Koordinatensystem. Der erste Wert gibt die waagerechte Position von links an, der zweite die senkrechte Position von unten. Der Punkt $(3|2)$ liegt also in der dritten Spalte von links und der zweiten Reihe von unten.
Bei einem 5×5-Geobrett zählst du 25 Punkte, aber nur 4 · 4 = 16 Zwischenräume in Form kleiner Quadrate.
Figuren spannen, zeichnen und beschreiben
Eine Figur entsteht, wenn du ein Gummiband über ausgewählte Punkte führst. Auf einem echten Geobrett handelst du mit Gummibändern. Auf einem digitalen Geobrett verschiebst du die Endpunkte eines virtuellen Bandes. Der mathematische Gedanke ist derselbe.
Ein zuverlässiger Arbeitsweg hat drei Schritte:
- Spannen: Führe das Band über die vorgegebenen Punkte.
- Zeichnen: Übertrage die Figur auf Punktepapier.
- Beschreiben: Nenne die verwendeten Punkte sowie auffällige Seiten, Ecken und Lagen.
Spanne nacheinander die Punkte $(1|1)$, $(4|1)$, $(4|3)$ und $(1|3)$. Kehre danach zu $(1|1)$ zurück.
Es entsteht ein Rechteck. Seine waagerechten Seiten überspannen jeweils drei Punktabstände. Seine senkrechten Seiten überspannen jeweils zwei Punktabstände.
Eine eindeutige Beschreibung lautet: „Beginne bei $(1|1)$. Gehe drei Abstände nach rechts, zwei nach oben, drei nach links und zwei nach unten.“
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Arbeitsweg ich die Figur zuerst am Geobrett. Danach ich sie auf Punktepapier. Zum Schluss ich ihren Aufbau mit passenden Fachwörtern.
Vielecke erkennen und untersuchen
Vieleck
Ein Vieleck ist ein geschlossener Streckenzug. Ein Vieleck mit $n$ Ecken besitzt auch $n$ Seiten und $n$ Winkel. Ein Dreieck hat beispielsweise drei Ecken und drei Seiten. Ein Viereck hat vier Ecken und vier Seiten.
Eine einzelne Strecke ist kein Vieleck, weil sie keine Fläche umschließt. Auch ein offener Streckenzug ist kein Vieleck: Anfang und Ende sind noch nicht verbunden.
Verbinde $(1|1)$, $(4|1)$ und $(2|3)$ und kehre zum Startpunkt zurück.
Die Figur ist geschlossen und besitzt drei Ecken sowie drei Seiten. Sie ist daher ein Dreieck.
Verbindest du dagegen nur $(1|1)$ mit $(4|1)$ und anschließend mit $(2|3)$, bleibt der Streckenzug offen. Dann ist noch kein Vieleck entstanden.
Verschiedene Vierecke finden
Die Punkte $(1|1)$, $(3|1)$, $(3|3)$ und $(1|3)$ bilden ein Quadrat. Die Punkte $(1|1)$, $(4|1)$, $(4|3)$ und $(1|3)$ bilden ein Rechteck, das kein Quadrat ist. Beide Figuren sind Vierecke, weil sie jeweils vier Ecken und vier Seiten besitzen.
Flächeninhalte am Punkteraster bestimmen
Der Flächeninhalt beantwortet die Frage: Wie viel Platz bedeckt eine Figur? Auf dem Geobrett kannst du dafür die kleinen Quadrate zwischen benachbarten Punkten als Einheitsquadrate verwenden.
Einheitsquadrat
Ein Einheitsquadrat ist hier ein kleines Quadrat zwischen vier benachbarten Punkten. Sein Flächeninhalt beträgt eine Flächeneinheit, kurz $1\,FE$.
Das Rechteck mit den Eckpunkten $(1|1)$, $(4|1)$, $(4|3)$ und $(1|3)$ ist drei Einheitsquadrate breit und zwei Einheitsquadrate hoch.
Es besteht aus zwei Reihen mit je drei Einheitsquadraten:
$$A = 2 · 3 = 6\,FE$$
Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt $6\,FE$. Die Rechnung passt zur Figur: Sechs kleine Quadrate werden bedeckt.
Bei einem Rechteck musst du die Einheitsquadrate nicht einzeln zählen. Bestimme die Zahl der Reihen und die Zahl der Quadrate pro Reihe. Multipliziere anschließend beide Zahlen.
Für ein Rechteck im Punkteraster gilt: Flächeninhalt = Zahl der Reihen · Zahl der Quadrate pro Reihe. Zähle dabei die Abstände zwischen den Punkten, nicht die Punkte selbst.
Gleicher Flächeninhalt, andere Form
Das Quadrat mit den Eckpunkten $(1|1)$, $(3|1)$, $(3|3)$ und $(1|3)$ bedeckt $2 · 2 = 4\,FE$.
Das schmale Rechteck mit den Eckpunkten $(1|1)$, $(2|1)$, $(2|5)$ und $(1|5)$ bedeckt $1 · 4 = 4\,FE$.
Die Figuren sehen verschieden aus, besitzen aber denselben Flächeninhalt. Die Form allein verrät also nicht, welche Figur mehr Fläche bedeckt.
Figuren gezielt verändern und vergleichen
Beim Umspannen veränderst du eine Ausgangsfigur nach einer Regel. Danach vergleichst du, was anders geworden und was gleich geblieben ist. Eine gleich gebliebene Eigenschaft nennt man eine Invariante.
Ausgangsfigur ist das Quadrat von $(1|1)$ bis $(3|3)$. Es hat den Flächeninhalt $4\,FE$.
Spanne daraus das schmale Rechteck von $(1|1)$ bis $(2|5)$. Auch dieses Rechteck hat den Flächeninhalt $4\,FE$.
Die Form und die Seitenlängen haben sich verändert. Der Flächeninhalt ist mit $4\,FE$ gleich geblieben. In diesem Vergleich ist der Flächeninhalt eine Invariante.
Deine Untersuchung
Spanne oder zeichne zwei verschiedene Rechtecke mit demselben Flächeninhalt. Beschreibe anschließend, was gleich und was verschieden ist.
Eine mögliche Lösung:
- Rechteck A ist zwei Einheitsquadrate breit und zwei hoch: $2 · 2 = 4\,FE$.
- Rechteck B ist ein Einheitsquadrat breit und vier hoch: $1 · 4 = 4\,FE$.
- Gleich ist der Flächeninhalt von $4\,FE$.
- Verschieden sind Form und Seitenlängen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Geobrett
- Figuren darstellen
- spannen
- zeichnen
- beschreiben
- Vielecke untersuchen
- Ecken und Seiten zählen
- offene und geschlossene Streckenzüge unterscheiden
- Flächen vergleichen
- Einheitsquadrate zählen
- Rechtecke mit Reihen · Spalten berechnen
- Figuren verändern
- Unterschiede erkennen
- Invarianten finden
- Figuren darstellen
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Fragen begründen kannst, hast du den wichtigsten Lernweg geschafft: Du kannst am Geobrett Figuren herstellen, mathematisch beschreiben und ihre Flächen vergleichen.