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Flächeninhalt verstehen und berechnen
Der Flächeninhalt sagt dir, wie viel Platz eine ebene Figur bedeckt. Du misst ihn mit Einheitsquadraten und gibst ihn in einer quadrierten Längeneinheit wie $\mathrm{cm^2}$ oder $\mathrm{m^2}$ an.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was misst der Flächeninhalt?
Stell dir vor, du möchtest einen Boden vollständig mit gleich großen quadratischen Fliesen bedecken. Die Anzahl der benötigten Fliesen beschreibt den Flächeninhalt.
Flächeninhalt
Der Flächeninhalt ist die Größe der Fläche, die eine zweidimensionale Figur einschließt. Als Formelzeichen wird meist $A$ verwendet.
Ein Einheitsquadrat hat die Seitenlänge einer Längeneinheit. Ein Quadrat mit der Seitenlänge $1\,\mathrm{cm}$ bedeckt $1\,\mathrm{cm^2}$. Die hochgestellte 2 zeigt: Es wurden zwei Längenrichtungen miteinander verbunden.
Zu einem Flächeninhalt gehört immer eine Flächeneinheit, zum Beispiel $\mathrm{mm^2}$, $\mathrm{cm^2}$, $\mathrm{m^2}$ oder $\mathrm{km^2}$.
Wie misst du mit Einheitsquadraten?
Auf einem Quadratgitter zählt jedes ganze Kästchen als ein Einheitsquadrat. Teilkästchen darfst du passend zusammensetzen: Zwei Hälften ergeben ein ganzes Kästchen.
Eine Gitterfigur besteht aus 5 ganzen Kästchen und 4 halben Kästchen.
- Die 5 ganzen Kästchen ergeben 5 Einheitsquadrate.
- Die 4 Hälften lassen sich zu 2 ganzen Kästchen zusammensetzen.
- Insgesamt bedeckt die Figur $5 + 2 = 7$ Einheitsquadrate.
Beträgt die Seitenlänge jedes Kästchens $1\,\mathrm{cm}$, ist der Flächeninhalt $A = 7\,\mathrm{cm^2}$.
Zwei anders geformte Figuren können denselben Flächeninhalt besitzen. Entscheidend ist, wie viele gleich große Einheitsquadrate sie bedecken, nicht wie sie aussehen.
Welche Formel passt zu welcher Figur?
Formeln sind abgekürzte Zählwege. Beim Rechteck bedeutet „Länge mal Breite“ dasselbe wie „Anzahl der Spalten mal Anzahl der Reihen“.
| Figur | Benötigte Größen | Flächeninhalt |
|---|---|---|
| Quadrat | Seitenlänge $a$ | $A = a^2$ |
| Rechteck | Seitenlängen $a$ und $b$ | $A = a \cdot b$ |
| Dreieck | Grundseite $g$ und zugehörige Höhe $h$ | $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ |
| Kreis | Radius $r$ | $A = \pi \cdot r^2$ |
Beim Dreieck steht die zugehörige Höhe senkrecht auf der gewählten Grundseite. Beim Kreis ist der Radius die Strecke vom Mittelpunkt bis zum Rand. Die Kreiszahl $\pi$ sprichst du „Pi“ aus; für Näherungsrechnungen kannst du $\pi \approx 3{,}1416$ verwenden.
Ein Rechteck besteht aus 4 Reihen mit je 6 Quadraten von $1\,\mathrm{cm^2}$.
$$A = 6\,\mathrm{cm} \cdot 4\,\mathrm{cm} = 24\,\mathrm{cm^2}$$
Die Rechnung zählt 4 Reihen mit jeweils 6 Kästchen. Das Ergebnis ist plausibel: $4 \cdot 6 = 24$ Kästchen.
Ein Dreieck hat die Grundseite $g = 8\,\mathrm{cm}$ und die zugehörige Höhe $h = 5\,\mathrm{cm}$.
$$A = \frac{1}{2} \cdot 8\,\mathrm{cm} \cdot 5\,\mathrm{cm} = 20\,\mathrm{cm^2}$$
Der Faktor $\frac{1}{2}$ passt, weil zwei solche Dreiecke zusammen ein Parallelogramm mit Grundseite 8 cm und Höhe 5 cm bilden.
Ein Kreis hat den Radius $r = 3\,\mathrm{cm}$.
$$A = \pi \cdot (3\,\mathrm{cm})^2 = 9\pi\,\mathrm{cm^2} \approx 28{,}27\,\mathrm{cm^2}$$
Das exakte Ergebnis ist $9\pi\,\mathrm{cm^2}$. Die Dezimalzahl ist nur eine Näherung.
Wie berechnest du zusammengesetzte Flächen?
Eine komplizierte Figur wird übersichtlich, wenn du sie in bekannte, nicht überlappende Teilfiguren zerlegst. Berechne jede Teilfläche mit der passenden Formel und addiere anschließend.
Eine Figur besteht ohne Überlappung aus einem Rechteck mit $6\,\mathrm{cm}$ Länge und $4\,\mathrm{cm}$ Breite sowie einem Dreieck mit $g = 4\,\mathrm{cm}$ und $h = 3\,\mathrm{cm}$.
- Rechteck: $A_1 = 6 \cdot 4 = 24\,\mathrm{cm^2}$.
- Dreieck: $A_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6\,\mathrm{cm^2}$.
- Gesamtfläche: $A = A_1 + A_2 = 30\,\mathrm{cm^2}$.
Die Teilflächen überlappen sich nicht. Deshalb darfst du ihre Inhalte addieren.
Manchmal ist Ergänzen leichter: Berechne eine große umschließende Fläche und ziehe ein ausgeschnittenes Stück ab. Auch dann musst du klar erkennen, welche Flächen dazugehören und welche fehlen.
Zeichne Zerlegungslinien ein, notiere für jede Teilfigur eine eigene Formel und schreibe die Einheit an jedes Ergebnis. Prüfe zuletzt, ob du eine Fläche vergessen oder doppelt gezählt hast.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Flächeninhalt
- Bedeutung: bedeckter Platz einer zweidimensionalen Figur
- Messen: Einheitsquadrate auszählen und Teilkästchen zusammensetzen
- Einheit: quadrierte Längeneinheit
- Standardfiguren: passende Größen messen und Formel wählen
- Zusammengesetzte Figuren: zerlegen oder ergänzen
- Kontrolle: Einheit, Plausibilität und doppelte Teilflächen prüfen