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Flächeninhalt Dreieck: Formel, Höhe und Beispiele
Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du mit Grundseite mal zugehörige Höhe, geteilt durch 2:
$$A=\frac{g\cdot h}{2}$$
Dabei müssen Grundseite und Höhe in derselben Längeneinheit angegeben sein. Auf dieser Seite lernst du, das passende Höhenpaar zu erkennen, die Formel zu verstehen und sicher anzuwenden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Grundseite und Höhe gehören zusammen
Du darfst jede Seite des Dreiecks als Grundseite wählen. Entscheidend ist dann, dass du genau die Höhe verwendest, die zu dieser Seite gehört.
Grundseite
Die Grundseite $g$ ist die Dreiecksseite, auf die du dich bei der Flächenberechnung beziehst. Sie muss nicht unten liegen.
Höhe
Die zugehörige Höhe $h$ ist die senkrechte Strecke vom gegenüberliegenden Eckpunkt zur Geraden, auf der die Grundseite liegt. Senkrecht bedeutet: Grundlinie und Höhe bilden einen Winkel von $90^\circ$. Bei einem stumpfwinkligen Dreieck kann der Fußpunkt der Höhe außerhalb der Grundseite auf ihrer Verlängerung liegen.
Ein Dreieck besitzt drei mögliche Grundseiten und dazu drei Höhen. Für eine Berechnung brauchst du aber nur ein passendes Paar aus Grundseite und zugehöriger Höhe.
Du wählst die Seite $c$ als Grundseite. Dann brauchst du die Höhe $h_c$. Eine schräge Seite, die am gegenüberliegenden Eckpunkt endet, ist nicht automatisch die Höhe. Nur eine Strecke im $90^\circ$-Winkel zur Geraden durch $c$ ist passend.
Warum du durch 2 teilst
Stell dir eine zweite, gleich große Kopie des Dreiecks vor. Beide Dreiecke lassen sich zu einem Parallelogramm mit derselben Grundseite $g$ und derselben Höhe $h$ zusammensetzen.
Dieses Parallelogramm hat den Flächeninhalt
$$A_{\text{Parallelogramm}}=g\cdot h$$
Es besteht aus zwei flächengleichen Dreiecken. Ein Dreieck nimmt deshalb genau die Hälfte ein:
$$A_{\text{Dreieck}}=\frac{g\cdot h}{2}$$
Das Produkt $g\cdot h$ gehört zum ganzen Parallelogramm. Das Dreieck ist davon die Hälfte. Darum steht in der Dreiecksformel der Divisor 2.
So berechnest du die Fläche Schritt für Schritt
Gehe immer in derselben Reihenfolge vor:
- Wähle eine Grundseite und die zugehörige senkrechte Höhe.
- Bringe beide Längen in dieselbe Einheit.
- Setze die Werte in $A=\frac{g\cdot h}{2}$ ein.
- Multipliziere und halbiere.
- Schreibe das Ergebnis mit einer quadratischen Einheit, zum Beispiel $\mathrm{cm^2}$.
Gegeben sind $g=7{,}2\,\mathrm{cm}$ und $h=4{,}5\,\mathrm{cm}$.
Zuerst setzt du beide Werte ein:
$$A=\frac{7{,}2\,\mathrm{cm}\cdot4{,}5\,\mathrm{cm}}{2}$$
Das Produkt ist $32{,}4\,\mathrm{cm^2}$. Anschließend halbierst du:
$$A=16{,}2\,\mathrm{cm^2}$$
Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $16{,}2\,\mathrm{cm^2}$. Die Einheit ist quadratisch, weil zwei Längen miteinander multipliziert wurden.
Erst die Einheiten angleichen
Bei $g=6\,\mathrm{cm}$ und $h=0{,}03\,\mathrm{m}$ darfst du nicht sofort multiplizieren. Rechne zuerst um:
$$0{,}03\,\mathrm{m}=3\,\mathrm{cm}$$
Dann gilt:
$$A=\frac{6\,\mathrm{cm}\cdot3\,\mathrm{cm}}{2}=9\,\mathrm{cm^2}$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für die Dreiecksfläche wähle ich zuerst eine und die dazugehörige Höhe. Vor dem Einsetzen bringe ich beide Längen in . Das Ergebnis erhält eine .
Sonderfälle und fehlende Größen
Rechtwinkliges Dreieck
In einem rechtwinkligen Dreieck stehen die beiden Katheten senkrecht aufeinander. Katheten sind die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen. Du kannst sie direkt als Grundseite und Höhe verwenden.
Die Katheten sind $6\,\mathrm{cm}$ und $2\,\mathrm{cm}$.
$$A=\frac{6\,\mathrm{cm}\cdot2\,\mathrm{cm}}{2}=6\,\mathrm{cm^2}$$
Eine fehlende Höhe bestimmen
Kennst du die Fläche $A$ und die Grundseite $g$, kannst du die Formel umstellen:
$$h=\frac{2A}{g}$$
Ein Dreieck hat $A=18\,\mathrm{cm^2}$ und $g=6\,\mathrm{cm}$.
$$h=\frac{2\cdot18\,\mathrm{cm^2}}{6\,\mathrm{cm}}=6\,\mathrm{cm}$$
Die Rechnung ist plausibel: $\frac{6\cdot6}{2}=18$.
Nur die drei Winkel eines Dreiecks reichen nicht aus, um seine Fläche festzulegen. Dreiecke können dieselben Winkel haben, aber unterschiedlich groß sein. Du brauchst zusätzlich mindestens eine passende Längenangabe.
Typische Fehler erkennen und selbst üben
Prüfe vor jeder Rechnung drei Punkte:
- Gehören Grundseite und Höhe wirklich zusammen?
- Steht die Höhe senkrecht auf der Grundlinie?
- Haben beide Längen dieselbe Einheit?
Verwechsle außerdem Fläche und Umfang nicht. Der Umfang ist die Summe der drei Seitenlängen und hat eine Längeneinheit wie $\mathrm{cm}$. Der Flächeninhalt beschreibt das eingeschlossene Gebiet und hat eine Einheit wie $\mathrm{cm^2}$.
Aufgabe
Ein Dreieck hat die Grundseite $g=6\,\mathrm{cm}$ und die zugehörige Höhe $h=0{,}03\,\mathrm{m}$.
- Berechne den Flächeninhalt.
- Erkläre, warum $0{,}09\,\mathrm{cm^2}$ kein richtiges Ergebnis sein kann.
Lösung
Zuerst rechnest du $0{,}03\,\mathrm{m}=3\,\mathrm{cm}$ um. Dann setzt du ein:
$$A=\frac{6\,\mathrm{cm}\cdot3\,\mathrm{cm}}{2}=9\,\mathrm{cm^2}$$
Das Ergebnis $0{,}09\,\mathrm{cm^2}$ entsteht, wenn die unterschiedlich angegebenen Längen ohne korrekte Umrechnung kombiniert werden. Vor dem Multiplizieren müssen beide Werte dieselbe Einheit haben.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Flächeninhalt eines Dreiecks
- Passendes Paar: Grundseite und senkrechte Höhe
- Grundformel: $A=\frac{g\cdot h}{2}$
- Begründung: Hälfte eines Parallelogramms
- Vorbereitung: Längeneinheiten angleichen
- Ergebnis: quadratische Einheit angeben
- Sonderfall: Katheten beim rechtwinkligen Dreieck
- Kontrolle: Zuordnung, Einheit und Plausibilität prüfen