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Umfang berechnen: Figuren, Formeln und Beispiele
Der Umfang ist die gesamte Länge des Randes einer Figur. Bei Vielecken addierst du dafür alle Seitenlängen. Gleiche Seiten kannst du mit einer kürzeren Formel zusammenfassen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was ist der Umfang?
Stell dir vor, du fährst mit dem Finger einmal am Rand einer Figur entlang. Du startest an einer Ecke und hörst erst auf, wenn du wieder am Ausgangspunkt angekommen bist. Die Länge dieses vollständigen Weges ist der Umfang.
Umfang
Der Umfang $U$ ist die Länge des gesamten Randes einer Figur. Deshalb wird er in einer Längeneinheit wie Millimeter, Zentimeter oder Meter angegeben.
Der Flächeninhalt beschreibt dagegen, wie groß die Innenfläche ist. Er wird in Quadrateinheiten wie Quadratzentimeter angegeben.
Rand gesucht? Dann berechnest du den Umfang. Innenfläche gesucht? Dann berechnest du den Flächeninhalt.
Wörter wie Zaun, Rahmen, Umrandung oder einmal außen herum weisen häufig auf den Umfang hin.
So berechnest du den Umfang eines Vielecks
Ein Vieleck ist eine Figur aus geraden Seiten. Für seinen Umfang gilt immer:
- Gehe Seite für Seite einmal um die Figur.
- Notiere jede Seitenlänge genau einmal.
- Bringe alle Längen in dieselbe Einheit.
- Addiere die Seitenlängen.
- Schreibe die Längeneinheit zum Ergebnis.
Ein Dreieck hat die Seitenlängen 3 cm, 4 cm und 5 cm.
$$U = 3\,\text{cm} + 4\,\text{cm} + 5\,\text{cm} = 12\,\text{cm}$$
Der Rand des Dreiecks ist insgesamt 12 cm lang.
Für ein Dreieck mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ lautet die Kurzschreibweise:
$$U = a + b + c$$
Bei einem Trapez mit vier Seitenlängen addierst du ebenfalls alle Seiten:
$$U = a + b + c + d$$
Gleiche Seiten geschickt zusammenfassen
Bei manchen Figuren sind mehrere Seiten gleich lang. Dann kannst du die Addition verkürzen. Die Formel entsteht aus der Summe der Seiten und muss nicht nur auswendig gelernt werden.
Rechteck
Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln. Seine gegenüberliegenden Seiten sind jeweils gleich lang: Die Länge $a$ kommt zweimal vor, ebenso die Breite $b$.
$$U = a + b + a + b = 2a + 2b = 2(a+b)$$
Ein Rechteck ist 9 cm lang und 4 cm breit.
$$U = 2(9\,\text{cm} + 4\,\text{cm})$$
Zuerst addierst du in der Klammer:
$$U = 2 \cdot 13\,\text{cm} = 26\,\text{cm}$$
Der Umfang beträgt 26 cm. Die beiden Seitenlängen wurden jeweils zweimal berücksichtigt.
Quadrat, Parallelogramm, Raute und Drachenviereck
Beim Quadrat und bei der Raute sind alle vier Seiten gleich lang:
$$U = 4a$$
Beim Parallelogramm kommen die beiden Seitenlängen $a$ und $b$ jeweils zweimal vor:
$$U = 2a + 2b$$
Auch beim Drachenviereck gibt es zwei Paare gleich langer Seiten. Sind ihre Längen $a$ und $b$, gilt ebenfalls:
$$U = 2a + 2b$$
Vertiefung: Der Kreis
Ein Kreis besitzt keine geraden Seiten. Sein Umfang wird deshalb nicht durch das Addieren von Seiten bestimmt. Der Radius $r$ reicht vom Mittelpunkt bis zum Rand. Der Durchmesser $d$ führt durch den Mittelpunkt von einer Randseite zur gegenüberliegenden und ist doppelt so lang wie der Radius: $d = 2r$.
Mit der Kreiszahl $π$ gilt:
$$U = 2 \cdot π \cdot r = π \cdot d$$
Einheiten und Sachaufgaben sicher bearbeiten
Längen in verschiedenen Einheiten darfst du nicht direkt addieren. Wandle sie zuerst in dieselbe Einheit um.
Ein Rechteck hat die Seitenlängen $a = 1$ m und $b = 40$ cm. Wir rechnen beide Angaben in Zentimeter um:
$$1\,\text{m} = 100\,\text{cm}$$
Nun setzt du ein:
$$U = 2(100\,\text{cm} + 40\,\text{cm}) = 280\,\text{cm}$$
Das sind auch 2,8 m. Beide Schreibweisen beschreiben denselben Umfang.
Ein rechteckiger Spielplatz ist 12 m lang und 7 m breit. Wie viel Zaun wird für eine vollständige Umrandung benötigt?
Gesucht ist die Randlänge, also der Umfang:
$$U = 2(12\,\text{m} + 7\,\text{m}) = 2 \cdot 19\,\text{m} = 38\,\text{m}$$
Für den Spielplatz werden 38 m Zaun benötigt.
Addiere erst, wenn alle Seitenlängen dieselbe Einheit haben. Ein Umfang erhält immer eine Längeneinheit, keine Quadrateinheit.
Eine fehlende Rechteckseite bestimmen
Manchmal kennst du den Umfang und nur eine Seitenlänge. Dann nutzt du, dass jede Seitenlänge zweimal vorkommt.
Gegeben sind $U = 30$ cm und $b = 6$ cm. Gesucht ist $a$.
Aus $U = 2a + 2b$ folgt:
$$2a = U - 2b$$
Setze die bekannten Werte ein:
$$2a = 30\,\text{cm} - 2 \cdot 6\,\text{cm} = 18\,\text{cm}$$
Jetzt teilst du durch 2:
$$a = 9\,\text{cm}$$
Probe:
$$2(9\,\text{cm} + 6\,\text{cm}) = 30\,\text{cm}$$
Die fehlende Seite ist 9 cm lang.
Als Kurzform kannst du verwenden:
$$a = (U-2b)/2$$
Entsprechend gilt:
$$b = (U-2a)/2$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Umfang berechnen
- Bedeutung: Länge des gesamten Randes
- Vielecke: alle Seiten addieren
- Rechteck: zwei Längen und zwei Breiten
- Gleiche Seiten: durch Multiplikation zusammenfassen
- Einheiten: vor dem Addieren vereinheitlichen
- Sachaufgaben: auf Rand, Zaun oder Rahmen achten
- Kontrolle: Einheit und Rückrechnung prüfen
Abschluss-Check
Du kannst deinen Rechenweg abschließend mit drei Fragen prüfen: Hast du wirklich den gesamten Rand erfasst? Haben alle Längen dieselbe Einheit? Ist dein Ergebnis eine Länge und im Zusammenhang plausibel?