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Umfang eines Dreiecks berechnen: Formel & Beispiele
Der Umfang ist die gesamte Länge des Dreiecksrandes. Du berechnest ihn, indem du die drei Seitenlängen addierst: $U=a+b+c$. Vorher müssen alle Längen in derselben Einheit angegeben sein.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was misst der Umfang?
Stell dir vor, du fährst mit dem Finger einmal am Rand eines Dreiecks entlang. Die gesamte zurückgelegte Strecke ist der Umfang.
Umfang
Der Umfang $U$ ist die Länge des gesamten Randes einer Figur. Beim Dreieck besteht dieser Rand aus den drei Seiten $a$, $b$ und $c$.
Deshalb gilt:
$$U=a+b+c$$
In Worten: Umfang gleich erste Seite plus zweite Seite plus dritte Seite.
Der Umfang ist eine Länge. Sein Ergebnis trägt daher eine Längeneinheit wie Millimeter, Zentimeter oder Meter.
Der Flächeninhalt beschreibt dagegen, wie groß der Bereich innerhalb des Dreiecks ist. Du erkennst den Unterschied auch an der Einheit: Ein Umfang kann in $\mathrm{cm}$ angegeben werden, ein Flächeninhalt beispielsweise in $\mathrm{cm^2}$.
Wie addierst du drei bekannte Seiten?
Gehe in vier Schritten vor:
- Notiere die drei Seitenlängen.
- Prüfe, ob alle dieselbe Einheit besitzen.
- Setze die Werte in $U=a+b+c$ ein und addiere sie.
- Schreibe die gemeinsame Längeneinheit hinter das Ergebnis.
Gegeben sind $a=4\,\mathrm{cm}$, $b=6\,\mathrm{cm}$ und $c=5\,\mathrm{cm}$.
Alle Seiten sind bereits in Zentimetern angegeben. Deshalb kannst du sofort addieren:
$$U=4\,\mathrm{cm}+6\,\mathrm{cm}+5\,\mathrm{cm}=15\,\mathrm{cm}$$
Der Rand des Dreiecks ist insgesamt $15\,\mathrm{cm}$ lang.
Was tun bei unterschiedlichen Einheiten?
Du darfst Seitenlängen erst addieren, wenn sie in derselben Einheit vorliegen. Entscheide dich für eine gemeinsame Einheit und wandle alle anderen Angaben um.
Gegeben sind $a=48\,\mathrm{cm}$, $b=63\,\mathrm{cm}$ und $c=5{,}5\,\mathrm{dm}$.
Die ersten beiden Seiten sind in Zentimetern angegeben. Deshalb wandelst du die Dezimeterangabe in Zentimeter um:
$$5{,}5\,\mathrm{dm}=55\,\mathrm{cm}$$
Nun haben alle Seiten dieselbe Einheit:
$$U=48\,\mathrm{cm}+63\,\mathrm{cm}+55\,\mathrm{cm}=166\,\mathrm{cm}$$
Der Umfang beträgt $166\,\mathrm{cm}$.
Erst umwandeln, dann addieren. Zahlen mit verschiedenen Einheiten darfst du nicht unverändert zusammenzählen.
Wie bestimmst du eine fehlende Seite?
Manchmal kennst du den Umfang und zwei Seiten. Dann ziehst du die beiden bekannten Seiten vom Umfang ab.
Für eine fehlende Seite $b$ gilt:
$$b=U-a-c$$
Gegeben sind $U=14\,\mathrm{cm}$, $a=5\,\mathrm{cm}$ und $c=6\,\mathrm{cm}$. Gesucht ist $b$.
Setze die bekannten Werte ein:
$$b=14\,\mathrm{cm}-5\,\mathrm{cm}-6\,\mathrm{cm}=3\,\mathrm{cm}$$
Zur Kontrolle addierst du alle drei Seiten:
$$5\,\mathrm{cm}+3\,\mathrm{cm}+6\,\mathrm{cm}=14\,\mathrm{cm}$$
Die Summe stimmt mit dem gegebenen Umfang überein. Also ist $b=3\,\mathrm{cm}$.
Fehlt eine Seite und ist der Umfang nicht gegeben, reicht die Umfangsformel allein nicht aus. Bei einem rechtwinkligen Dreieck kann eine fehlende Seite unter passenden Angaben zuerst mit dem Satz des Pythagoras bestimmt werden. Diese Methode gilt nicht für jedes beliebige Dreieck.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Umfang eines Dreiecks
- Bedeutung: gesamte Länge des Randes
- Einheit: eine Längeneinheit
- Drei bekannte Seiten: $U=a+b+c$
- Verschiedene Einheiten: zuerst umwandeln
- Fehlende Seite: bekannte Seiten vom Umfang abziehen
- Kontrolle: alle drei Seiten addieren
- Abgrenzung: Flächeninhalt misst den inneren Bereich
Abschluss-Check
Wenn du den Rand erkennst, alle Längen in dieselbe Einheit bringst und anschließend die drei Seiten addierst, kannst du den Umfang eines Dreiecks sicher bestimmen.