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Flächeninhalt und Umfang einfach berechnen
Der Umfang beschreibt die Länge des Randes einer Figur. Der Flächeninhalt beschreibt, wie groß der bedeckte Bereich ist. Bei einem Rechteck addierst du für den Umfang alle vier Seiten; für den Flächeninhalt multiplizierst du Länge und Breite.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Rand oder bedeckte Fläche?
Stell dir einen rechteckigen Garten vor. Für einen Zaun brauchst du die Länge um den Garten herum. Für Rasensamen brauchst du die Größe der gesamten Bodenfläche.
Umfang
Der Umfang $U$ ist die Länge des vollständigen Randes einer Figur. Er wird in einer Längeneinheit wie $\mathrm{cm}$, $\mathrm{m}$ oder $\mathrm{km}$ angegeben.
Flächeninhalt
Der Flächeninhalt $A$ gibt an, wie groß der bedeckte Bereich ist. Er wird in einer Quadrateinheit wie $\mathrm{cm^2}$, $\mathrm{m^2}$ oder $\mathrm{km^2}$ angegeben.
Rand bedeutet Umfang. Bedeckter Bereich bedeutet Flächeninhalt.
Rechteck und Quadrat berechnen
Ein Rechteck hat vier rechte Winkel. Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang. Nenne die Seitenlängen $a$ und $b$.
Für den Umfang addierst du alle vier Seiten:
$$U=a+b+a+b=2(a+b)$$
Für den Flächeninhalt multiplizierst du die beiden Seitenlängen:
$$A=a\cdot b$$
Ein Rechteck ist $6\,\mathrm{cm}$ lang und $4\,\mathrm{cm}$ breit.
Umfang:
$$U=2(6\,\mathrm{cm}+4\,\mathrm{cm})=20\,\mathrm{cm}$$
Flächeninhalt:
$$A=6\,\mathrm{cm}\cdot4\,\mathrm{cm}=24\,\mathrm{cm^2}$$
Das Ergebnis $20\,\mathrm{cm}$ beschreibt den Rand. Das Ergebnis $24\,\mathrm{cm^2}$ beschreibt 24 Einheitsquadrate von je $1\,\mathrm{cm^2}$.
Ein Quadrat ist ein besonderes Rechteck mit vier gleich langen Seiten. Bei der Seitenlänge $a$ gilt:
$$U=4a\qquad\text{und}\qquad A=a\cdot a$$
Einheiten vor dem Rechnen angleichen
Du darfst Seitenlängen erst addieren oder multiplizieren, wenn sie in derselben Einheit angegeben sind. Wandle deshalb zuerst um.
Bei benachbarten metrischen Längeneinheiten gilt zum Beispiel $1\,\mathrm{cm}=10\,\mathrm{mm}$. Für Flächen wird der Umrechnungsfaktor ebenfalls quadriert:
$$1\,\mathrm{cm^2}=100\,\mathrm{mm^2}$$
Der Grund: Ein Quadrat von $1\,\mathrm{cm}$ Seitenlänge ist $10\,\mathrm{mm}$ lang und $10\,\mathrm{mm}$ breit. Es enthält also $10\cdot10=100$ Quadratmillimeter.
Gegeben sind $a=30\,\mathrm{mm}$ und $b=9\,\mathrm{cm}$.
Zuerst wandelst du $30\,\mathrm{mm}=3\,\mathrm{cm}$ um. Danach rechnest du:
$$U=2(3\,\mathrm{cm}+9\,\mathrm{cm})=24\,\mathrm{cm}$$
$$A=3\,\mathrm{cm}\cdot9\,\mathrm{cm}=27\,\mathrm{cm^2}$$
Längen werden in $\mathrm{mm}$, $\mathrm{cm}$, $\mathrm{dm}$, $\mathrm{m}$ oder $\mathrm{km}$ angegeben. Flächen brauchen die passende Quadrateinheit.
Fehlende Seiten bestimmen
Ist der Flächeninhalt und eine Seite bekannt, teilst du die Fläche durch die bekannte Seite:
$$b=A:a$$
Gegeben sind $A=30\,\mathrm{cm^2}$ und $a=6\,\mathrm{cm}$.
$$b=\frac{30\,\mathrm{cm^2}}{6\,\mathrm{cm}}=5\,\mathrm{cm}$$
Eine Längeneinheit bleibt übrig. Die Probe bestätigt das Ergebnis: $6\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}=30\,\mathrm{cm^2}$.
Beim Umfang kannst du zuerst durch 2 teilen und danach die bekannte Seite abziehen:
$$b=\frac{U}{2}-a$$
Gegeben sind $U=40\,\mathrm{cm}$ und $a=5\,\mathrm{cm}$.
$$b=\frac{40\,\mathrm{cm}}{2}-5\,\mathrm{cm}=15\,\mathrm{cm}$$
Probe: $2(5\,\mathrm{cm}+15\,\mathrm{cm})=40\,\mathrm{cm}$.
Sachaufgaben sicher lösen
- Entscheide zuerst: Geht es um den Rand oder um den bedeckten Bereich?
- Notiere die gegebenen Seitenlängen mit Einheiten.
- Gleiche unterschiedliche Einheiten an.
- Wähle die passende Formel und rechne.
- Prüfe Ergebnis, Einheit und Sachzusammenhang.
Ein Fußballfeld ist $120\,\mathrm{m}$ lang und $90\,\mathrm{m}$ breit. Gesucht ist die Größe des Spielfelds. Das Wort „Spielfeld“ meint hier den bedeckten Bereich, also den Flächeninhalt.
$$A=120\,\mathrm{m}\cdot90\,\mathrm{m}=10\,800\,\mathrm{m^2}$$
Das Spielfeld ist $10\,800\,\mathrm{m^2}$ groß.
Übung
Ein rechteckiger Garten ist $5\,\mathrm{m}$ lang und $4\,\mathrm{m}$ breit.
- Wie viele Meter Zaun werden für einen vollständigen Rand benötigt?
- Wie groß ist die Gartenfläche?
Lösung: Der Zaun gehört zum Rand:
$$U=2(5\,\mathrm{m}+4\,\mathrm{m})=18\,\mathrm{m}$$
Die Gartenfläche ist der bedeckte Bereich:
$$A=5\,\mathrm{m}\cdot4\,\mathrm{m}=20\,\mathrm{m^2}$$
Du brauchst $18\,\mathrm{m}$ Zaun. Der Garten ist $20\,\mathrm{m^2}$ groß.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Flächeninhalt und Umfang
- Umfang
- beschreibt den Rand
- Rechteck: $U=2(a+b)$
- Einheit: Länge
- Flächeninhalt
- beschreibt den bedeckten Bereich
- Rechteck: $A=a\cdot b$
- Einheit: Quadrateinheit
- Sicher rechnen
- Einheiten zuerst angleichen
- Formel passend zur Frage wählen
- Ergebnis mit einer Probe prüfen
- Umfang