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Höhe im Dreieck: konstruieren und berechnen
Eine Höhe verläuft durch einen Eckpunkt und senkrecht zur gegenüberliegenden Seite oder zu deren Verlängerung. Jedes Dreieck hat drei Höhen. Du brauchst sie vor allem, um den Flächeninhalt zu bestimmen und den Höhenschnittpunkt zu finden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Höhe und Seite richtig zuordnen
Betrachte ein Dreieck $ABC$. Die Seite $a$ liegt dem Eckpunkt $A$ gegenüber. Entsprechend liegt $b$ gegenüber von $B$ und $c$ gegenüber von $C$.
Höhe
Die Höhe $h_a$ ist das Lot durch $A$ auf die Seitengerade $a$. „Lot“ bedeutet: Die Höhe und die Seitengerade bilden einen Winkel von $90^\circ$. Entsprechend verläuft $h_b$ durch $B$ und $h_c$ durch $C$.
Der Schnittpunkt einer Höhe mit der zugehörigen Seitengeraden heißt Höhenfußpunkt. Bei einem stumpfwinkligen Dreieck kann er außerhalb der eigentlichen Seite liegen. Deshalb ist „Seitengerade“ genauer als nur „Seite“.
Der Index verbindet Seite und Höhe: Zu $a$ gehört $h_a$, zu $b$ gehört $h_b$, zu $c$ gehört $h_c$. Der Eckpunkt, durch den die Höhe verläuft, trägt denselben Großbuchstaben.
Eine Höhe mit Zirkel und Lineal konstruieren
Du möchtest $h_a$ zeichnen. Gesucht ist die Senkrechte durch $A$ auf die Seitengerade $a$.
- Verlängere $a$ bei Bedarf zu einer Geraden.
- Steche den Zirkel in $A$. Zeichne einen ausreichend großen Kreisbogen, der die Seitengerade $a$ in zwei Punkten $P$ und $Q$ schneidet.
- Steche nacheinander in $P$ und $Q$ ein. Zeichne mit unveränderter Zirkelöffnung zwei Kreisbögen. Sie schneiden sich in $A$ und in einem zweiten Punkt $R$.
- Zeichne die Gerade durch $A$ und $R$. Sie ist $h_a$.
Warum funktioniert das? $A$ und $R$ haben jeweils den gleichen Abstand zu $P$ und $Q$. Die Gerade $AR$ ist deshalb die Mittelsenkrechte von $PQ$ und steht senkrecht auf $a$.
Für $h_b$ und $h_c$ wiederholst du das Verfahren vom jeweiligen Eckpunkt aus.
Eine Höhe ist nicht dasselbe wie eine Mittelsenkrechte. Eine Höhe muss durch einen Eckpunkt gehen. Eine Mittelsenkrechte muss durch den Mittelpunkt einer Seite gehen. Nur in besonderen Dreiecken können beide Linien zusammenfallen.
Den Höhenschnittpunkt finden
Die drei Höhen eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt. Er heißt Höhenschnittpunkt $H$. Zum Zeichnen genügen zwei Höhen: Ihr Schnittpunkt ist $H$; die dritte Höhe verläuft ebenfalls durch diesen Punkt.
Die Lage von $H$ hängt von der Dreiecksart ab:
- Spitzwinkliges Dreieck: Alle Winkel sind kleiner als $90^\circ$. $H$ liegt im Dreieck.
- Rechtwinkliges Dreieck: Zwei Katheten sind bereits Höhen. $H$ ist der Eckpunkt des rechten Winkels.
- Stumpfwinkliges Dreieck: Ein Winkel ist größer als $90^\circ$. Zwei Seitengeraden müssen verlängert werden; $H$ liegt außerhalb.
Ein Dreieck hat bei $C$ einen rechten Winkel. Die Seiten $a=BC$ und $b=AC$ sind die Katheten. Weil sie senkrecht aufeinanderstehen, ist $a$ zugleich die Höhe zur Seite $b$, und $b$ ist die Höhe zur Seite $a$. Beide treffen sich in $C$. Daher gilt $H=C$.
Eine Höhe aus Fläche und Grundseite berechnen
In den folgenden Formeln bezeichnet $A$ den Flächeninhalt. Für jede gewählte Grundseite $g$ und die zugehörige Höhe $h$ gilt:
$$A=\frac{g\cdot h}{2}$$
Stellst du nach $h$ um, erhältst du:
$$h=\frac{2A}{g}$$
Achte darauf, dass $g$ wirklich die Seite ist, auf der die gesuchte Höhe senkrecht steht.
Ein Dreieck hat den Flächeninhalt $A=15\,\mathrm{cm}^2$. Zur Grundseite $g=6\,\mathrm{cm}$ wird die Höhe gesucht.
$$h=\frac{2\cdot15\,\mathrm{cm}^2}{6\,\mathrm{cm}}=5\,\mathrm{cm}$$
Die Einheit passt: Quadratzentimeter geteilt durch Zentimeter ergibt Zentimeter. Zur Probe:
$$\frac{6\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}}{2}=15\,\mathrm{cm}^2$$
Vertiefung: Die passende Formel auswählen
Welche Formel passt, hängt von den gegebenen Größen ab. Winkel allein reichen nicht: Gleich geformte Dreiecke können verschieden groß sein und deshalb verschiedene Höhen haben.
Eine Seite und ein Winkel
Entsteht durch die Höhe ein rechtwinkliges Teildreieck, kannst du den Sinus nutzen. Zum Beispiel:
$$h_c=a\sin(\beta)$$
Für $a=5\,\mathrm{cm}$ und $\beta=30^\circ$ gilt:
$$h_c=5\,\mathrm{cm}\cdot\sin(30^\circ)=2{,}5\,\mathrm{cm}$$
Prüfe am Taschenrechner, dass das Gradmaß eingestellt ist.
Rechtwinkliges Dreieck
Sind $a$ und $b$ die Katheten und $c$ die Hypotenuse, ist die Höhe auf die Hypotenuse:
$$h_c=\frac{a\cdot b}{c}$$
Denn derselbe Flächeninhalt lässt sich als $\frac{a\cdot b}{2}$ und als $\frac{c\cdot h_c}{2}$ schreiben.
Bei $a=6\,\mathrm{cm}$, $b=8\,\mathrm{cm}$ und $c=10\,\mathrm{cm}$ folgt:
$$h_c=\frac{6\,\mathrm{cm}\cdot8\,\mathrm{cm}}{10\,\mathrm{cm}}=4{,}8\,\mathrm{cm}$$
Gleichseitiges Dreieck
In einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge $a$ sind alle drei Höhen gleich lang:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$
Für $a=6\,\mathrm{cm}$ ergibt sich $h=3\sqrt{3}\,\mathrm{cm}$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Höhen im Dreieck
- Zuordnung: $a\leftrightarrow h_a$, $b\leftrightarrow h_b$, $c\leftrightarrow h_c$
- Konstruktion: Senkrechte durch den gegenüberliegenden Eckpunkt
- Schnittpunkt: alle drei Höhen treffen sich in $H$
- Lage von $H$: innen, am rechten Eckpunkt oder außerhalb
- Berechnung: $h=\frac{2A}{g}$
- Vertiefung: Sinus und Formeln für besondere Dreiecke
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Abschlussfragen begründen kannst, kannst du Höhen sicher erkennen, konstruieren, einordnen und aus passenden Angaben berechnen.