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Mit einem Halbkreis kannst du rechte Winkel finden, ohne ein Geodreieck anzulegen. Der Satz des Thales erklärt genau diesen Zusammenhang und macht viele Geometrieaufgaben kürzer.
- Ich kann den Satz des Thales formulieren.
- Ich kann erkennen, wann ein Punkt auf dem Thaleskreis liegt.
- Ich kann rechte Winkel im Halbkreis begründen.
- Ich kann einfache Umkehraufgaben lösen.
Die Idee am Kreis
Nimm eine Strecke \(AB\) als Durchmesser eines Kreises. Wenn ein Punkt \(C\) auf dem Kreis liegt, entsteht das Dreieck \(ABC\). Der Winkel bei \(C\) ist immer ein rechter Winkel.
Satz des Thales
Der Satz des Thales sagt: Liegt \(C\) auf dem Kreis mit Durchmesser \(AB\), dann ist der Winkel \(\angle ACB=90^\circ\).
\(AB\) ist der Durchmesser eines Kreises. Der Punkt \(C\) liegt auf dem Kreis. Dann ist das Dreieck \(ABC\) bei \(C\) rechtwinklig. Du darfst also zum Beispiel den Satz des Pythagoras mit der Hypotenuse \(AB\) verwenden.
Durchmesser als Dreiecksseite plus dritter Punkt auf dem Kreis ergibt einen rechten Winkel gegenüber dem Durchmesser.
Der Thaleskreis
Der Thaleskreis ist der Kreis über einer Strecke als Durchmesser. Er enthält alle Punkte, von denen aus du die Strecke unter einem rechten Winkel siehst.
Thaleskreis
Der Thaleskreis über der Strecke \(AB\) ist der Kreis, dessen Mittelpunkt die Mitte von \(AB\) ist und dessen Radius die halbe Länge von \(AB\) beträgt.
Die Strecke \(AB\) ist 10 cm lang.
- Mittelpunkt von \(AB\) konstruieren.
- Radius ist \(5\) cm.
- Kreis um den Mittelpunkt zeichnen.
- Jeder Punkt \(C\) auf diesem Kreis bildet mit \(A\) und \(B\) ein rechtwinkliges Dreieck bei \(C\).
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Die Umkehrung
Auch die Umkehrung ist wichtig: Wenn ein Dreieck bei \(C\) rechtwinklig ist, dann liegt \(C\) auf dem Thaleskreis über der Hypotenuse \(AB\).
In einem Dreieck gilt \(\angle ACB=90^\circ\). Dann ist \(AB\) die Hypotenuse. Der Punkt \(C\) liegt auf dem Kreis mit Durchmesser \(AB\).
Die Umkehrung hilft beim Konstruieren: Wenn du alle möglichen Punkte für einen rechten Winkel suchst, zeichnest du den Thaleskreis.
Prüfungsmodus
Achte darauf, welcher Winkel gemeint ist. Der rechte Winkel liegt nicht am Mittelpunkt und nicht automatisch bei A oder B, sondern am Punkt auf dem Kreis.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Der Satz des Thales verbindet Halbkreis und rechten Winkel. Liegt ein Punkt auf dem Kreis über einem Durchmesser, entsteht dort ein rechter Winkel. Umgekehrt liegen alle Punkte mit rechtem Winkel über einer Strecke auf dem Thaleskreis.