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Satz des Thales: Erklärung, Beweis und Anwendung
Liegt der Punkt $C$ auf einem Kreis und ist $AB$ ein Durchmesser dieses Kreises, dann ist der Winkel $∠ACB$ immer $90°$. Mit dem Satz des Thales kannst du deshalb rechte Winkel erkennen, begründen und konstruieren.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wann gilt der Satz des Thales?
Thaleskreis
Der Thaleskreis über $AB$ ist der Kreis, dessen Durchmesser die Strecke $AB$ ist. Sein Mittelpunkt $M$ ist also der Mittelpunkt von $AB$.
Für den Satz müssen zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein:
- $A$ und $B$ sind die Endpunkte eines Kreisdurchmessers.
- $C$ liegt auf der Kreislinie und ist weder $A$ noch $B$.
Dann gilt:
$$∠ACB=90°$$
Der rechte Winkel liegt bei $C$. Die gegenüberliegende Strecke $AB$ ist deshalb die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks.
Ein Dreieck erfüllt den Satz nicht schon deshalb, weil seine drei Ecken auf einem Kreis liegen. Eine Dreiecksseite muss ein Durchmesser sein.
Wie konstruierst du ein rechtwinkliges Dreieck?
Du möchtest ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $AB=8\,\mathrm{cm}$ zeichnen.
- Zeichne die Strecke $AB$ mit $8\,\mathrm{cm}$ Länge.
- Konstruiere ihren Mittelpunkt $M$.
- Zeichne um $M$ einen Kreis mit dem Radius $MA=4\,\mathrm{cm}$.
- Wähle einen Punkt $C$ auf der Kreislinie, aber nicht $A$ oder $B$.
- Verbinde $C$ mit $A$ und $B$.
Der Radius beträgt die Hälfte des Durchmessers:
$$r=\frac{8\,\mathrm{cm}}{2}=4\,\mathrm{cm}$$
Da $C$ auf dem Thaleskreis über $AB$ liegt, ist $∠ACB=90°$. Verschiebst du $C$ auf der Kreislinie, verändert sich die Form des Dreiecks, aber der Winkel bei $C$ bleibt recht.
Warum entsteht bei C ein rechter Winkel?
Verbinde $C$ mit dem Kreismittelpunkt $M$. Die Strecken $MA$, $MB$ und $MC$ sind Radien desselben Kreises. Daher gilt:
$$MA=MB=MC$$
Damit sind die Teildreiecke $AMC$ und $BMC$ gleichschenklig. In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich.
Nenne die gleichen Basiswinkel im Dreieck $AMC$ jeweils $α$ und die gleichen Basiswinkel im Dreieck $BMC$ jeweils $β$. Dann hat das große Dreieck $ABC$:
- bei $A$ den Winkel $α$,
- bei $B$ den Winkel $β$,
- bei $C$ die beiden Teilwinkel $α$ und $β$.
Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt $180°$. Deshalb gilt:
$$α+β+(α+β)=180°$$
Zusammenfassen ergibt:
$$2(α+β)=180°$$
Also:
$$α+β=90°$$
Genau $α+β$ ist der Winkel $∠ACB$. Deshalb ist dieser Winkel recht.
Wie nutzt du die Umkehrung?
Die Umkehrung lautet: Ist ein Dreieck $ABC$ bei $C$ rechtwinklig, dann liegt $C$ auf dem Thaleskreis über der Hypotenuse $AB$. Der Mittelpunkt der Hypotenuse ist zugleich der Mittelpunkt des Umkreises.
Damit kannst du prüfen oder konstruieren:
- Kennst du den rechten Winkel, bestimmst du zuerst die gegenüberliegende Hypotenuse.
- Über dieser Hypotenuse zeichnest du den Thaleskreis.
- Der Scheitelpunkt des rechten Winkels muss auf diesem Kreis liegen.
In einem Thalesdreieck ist ein spitzer Winkel $32°$ groß. Die beiden spitzen Winkel ergänzen sich zu $90°$:
$$90°-32°=58°$$
Der andere spitze Winkel ist also $58°$ groß. Zusammen mit dem rechten Winkel ergibt sich $32°+58°+90°=180°$.
Welche Fehler solltest du vermeiden?
Drei Verwechslungen treten besonders leicht auf:
- Kreislinie statt Kreisfläche: $C$ muss auf der Linie liegen, nicht irgendwo im Inneren.
- Durchmesser statt beliebiger Sehne: $AB$ muss durch den Kreismittelpunkt verlaufen.
- Ort des rechten Winkels: Der rechte Winkel liegt bei $C$, also gegenüber dem Durchmesser.
Liegt $C$ nicht auf dem Thaleskreis, kannst du aus dem Satz des Thales allein nicht auf einen rechten Winkel schließen. Das bedeutet nicht automatisch, dass jedes solche Dreieck schiefwinklig sein muss; es bedeutet zunächst nur, dass die Voraussetzungen dieses Satzes fehlen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Satz des Thales
- Voraussetzungen
- $AB$ ist Durchmesser
- $C$ liegt auf der Kreislinie
- Folgerung
- $∠ACB=90°$
- $AB$ ist Hypotenuse
- Begründung
- drei gleich lange Radien
- zwei gleichschenklige Dreiecke
- Anwendung
- rechte Winkel konstruieren
- Umkehrung zum Prüfen nutzen
- Voraussetzungen