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Winkelhalbierende konstruieren und verstehen
Eine Winkelhalbierende verläuft durch den Scheitelpunkt eines Winkels und teilt ihn in zwei gleich große Winkel. Du kannst sie durch Messen mit dem Geodreieck oder exakt mit Zirkel und Lineal bestimmen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine Winkelhalbierende?
Ein Winkel besteht aus zwei Schenkeln, die am Scheitelpunkt beginnen. Die Winkelhalbierende startet ebenfalls am Scheitelpunkt und liegt genau zwischen den Schenkeln.
Winkelhalbierende
Eine Winkelhalbierende ist eine Halbgerade durch den Scheitelpunkt, die einen Winkel in zwei gleich große Teilwinkel zerlegt.
Beträgt ein Winkel $130^\circ$, sind seine beiden Teilwinkel jeweils $65^\circ$ groß:
$$130^\circ : 2 = 65^\circ$$
Eine Linie, die nur ungefähr in der Mitte liegt oder nicht durch den Scheitelpunkt verläuft, ist keine Winkelhalbierende.
Prüfe immer beide Bedingungen: Die Linie verläuft durch den Scheitelpunkt und die beiden Teilwinkel sind gleich groß.
Wie zeichnest du sie mit dem Geodreieck?
Beim Zeichnen mit dem Geodreieck misst du zuerst die Winkelgröße. Danach trägst du die Hälfte davon ab.
- Lege den Nullpunkt des Geodreiecks auf den Scheitelpunkt.
- Richte eine Kante an einem Schenkel aus.
- Miss die Größe des ganzen Winkels.
- Teile den Messwert durch zwei.
- Markiere den halbierten Wert, vom ausgerichteten Schenkel aus gemessen.
- Verbinde den Scheitelpunkt mit der Markierung.
Für einen Winkel von $130^\circ$ berechnest du zuerst $130^\circ : 2 = 65^\circ$. Markiere am Geodreieck $65^\circ$ und zeichne vom Scheitelpunkt durch diese Markierung. Zur Kontrolle misst du beide Teilwinkel: Beide müssen $65^\circ$ betragen.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Zuerst wird der gemessen. Danach wird der Messwert durch geteilt. Die neue Linie beginnt am .
Wie konstruierst du sie mit Zirkel und Lineal?
Bei einer geometrischen Konstruktion misst du keine Winkelzahl. Du erzeugst gleiche Abstände mit dem Zirkel.
- Stich den Zirkel in den Scheitelpunkt $S$ ein und zeichne einen Bogen, der beide Schenkel schneidet.
- Nenne die Schnittpunkte $E$ und $F$.
- Zeichne um $E$ einen Bogen in das Winkelfeld.
- Lass den Zirkel unverändert und zeichne mit demselben Radius einen Bogen um $F$.
- Falls sich die Bögen nicht schneiden, wähle für beide Bögen einen größeren, wiederum gleichen Radius.
- Nenne den Schnittpunkt der Bögen $G$.
- Zeichne die Halbgerade von $S$ durch $G$.
Es genügen Kreisbögen. Bei einer Konstruktionsaufgabe lässt du die Zirkelspuren sichtbar, damit dein Vorgehen überprüfbar bleibt.
Warum funktioniert das? Die Strecken $SE$ und $SF$ sind gleich lang, weil sie mit derselben Zirkeleinstellung entstanden sind. Ebenso gilt $EG = FG$. Die Strecke $SG$ gehört zu beiden entstehenden Dreiecken. Deshalb liegen $E$ und $F$ spiegelbildlich zu $SG$, und die Winkelhalbierende verläuft durch $S$ und $G$.
Was verrät der Abstand zu den Schenkeln?
Der Abstand eines Punktes von einem Schenkel ist die Länge der kürzesten, also senkrechten Verbindung zu diesem Schenkel.
Ortslinie
Eine Ortslinie ist die Menge aller Punkte mit einer bestimmten gemeinsamen Eigenschaft. Die Winkelhalbierende ist die Ortslinie der Punkte im Winkel, die von beiden Schenkeln gleich weit entfernt sind.
Damit gelten zwei Richtungen:
- Liegt ein Punkt auf der Winkelhalbierenden, hat er zu beiden Schenkeln denselben Abstand.
- Hat ein Punkt im Winkel zu beiden Schenkeln denselben Abstand, liegt er auf der Winkelhalbierenden.
Ein Punkt $P$ liegt im Inneren eines Winkels. Die senkrechten Abstände von $P$ zu beiden Schenkeln sind gleich lang. Dann muss $P$ auf der Winkelhalbierenden liegen. Du brauchst die beiden Teilwinkel dafür nicht zu messen.
Im Dreieck schneiden sich die Winkelhalbierenden der drei Innenwinkel in einem Punkt. Dieser Punkt hat zu allen drei Seiten denselben Abstand und ist deshalb der Mittelpunkt des Inkreises.
Welche Fehler solltest du vermeiden?
- Nur nach Augenmaß zeichnen: Eine mittig wirkende Linie kann ungenau sein. Miss die Teilwinkel oder führe die Zirkelkonstruktion aus.
- Den Scheitelpunkt verfehlen: Eine Winkelhalbierende muss durch den Scheitelpunkt verlaufen.
- Am falschen Schenkel ablesen: Richte das Geodreieck zuerst sauber an einem Schenkel aus und nutze die dazugehörige Skala.
- Die Zirkeleinstellung verändern: Die Bögen um $E$ und $F$ brauchen denselben Radius.
- Zu kleine Hilfsbögen zeichnen: Schneiden sie sich nicht, vergrößerst du den Radius für beide Bögen gleichermaßen.
- Abstand schräg messen: Der Abstand zu einem Schenkel wird immer senkrecht bestimmt.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Winkelhalbierende
- Bedeutung: zwei gleich große Teilwinkel
- Erkennungsmerkmale: Scheitelpunkt und gleiche Winkelgrößen
- Geodreieck: messen, halbieren, abtragen
- Zirkel und Lineal: gleiche Abstände konstruieren
- Ortslinie: gleicher senkrechter Abstand zu beiden Schenkeln
- Dreieck: Schnittpunkt als Mittelpunkt des Inkreises
Abschluss-Check
Wenn du Definition, Konstruktion und Gleichabstandseigenschaft miteinander verbinden kannst, kannst du Winkelhalbierende nicht nur zeichnen, sondern auch begründet erkennen und anwenden.