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In einem Dreieck kannst du von einer Ecke genau zur Mitte der gegenüberliegenden Seite zeichnen. Danach erkennst du Seitenhalbierende, findest den Schwerpunkt und kannst einfache Längen- und Konstruktionsaufgaben lösen.
- Ich kann eine Seitenhalbierende definieren und zeichnen.
- Ich kann den Mittelpunkt einer Seite bestimmen.
- Ich kann erklären, was der Schwerpunkt ist.
- Ich kann Seitenhalbierende von Höhe, Winkelhalbierender und Mittelsenkrechter unterscheiden.
Was eine Seitenhalbierende ist
Eine Seitenhalbierende gehört immer zu einer Ecke und zur gegenüberliegenden Seite.
Seitenhalbierende
Eine Seitenhalbierende ist die Strecke von einer Dreiecksecke zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Sie halbiert diese Seite in zwei gleich lange Teile.
Im Dreieck \(ABC\) liegt \(M\) in der Mitte von \(BC\). Dann ist die Strecke \(AM\) eine Seitenhalbierende.
Wenn \(BC=10\,cm\) ist, dann gilt \(BM=5\,cm\) und \(MC=5\,cm\).
Die Seitenhalbierende halbiert eine Seite, nicht unbedingt einen Winkel.
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Schwerpunkt des Dreiecks
Alle drei Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt heißt Schwerpunkt.
Schwerpunkt
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der gemeinsame Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden. Er teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis \(2:1\): Von der Ecke bis zum Schwerpunkt ist der längere Teil.
Eine Seitenhalbierende ist \(9\,cm\) lang. Der Schwerpunkt teilt sie im Verhältnis \(2:1\).
Gesamtlänge: 3 gleiche Teile. Ein Teil ist \(9:3=3\,cm\). Von der Ecke bis zum Schwerpunkt: \(2\cdot3=6\,cm\). Vom Schwerpunkt bis zur Seite: \(3\,cm\).
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Abgrenzen von anderen Linien
Viele besondere Linien im Dreieck klingen ähnlich. Frage immer: Was wird halbiert und gibt es einen rechten Winkel?
Eine Linie von \(A\) auf \(BC\) trifft \(BC\) in der Mitte, aber nicht senkrecht. Das ist eine Seitenhalbierende. Eine Linie trifft \(BC\) senkrecht, aber nicht in der Mitte. Das ist eine Höhe. Eine Linie halbiert den Winkel bei \(A\). Das ist eine Winkelhalbierende.
Prüfungsmodus
Bei Konstruktionen reicht „ungefähr Mitte“ nicht. Konstruiere oder berechne den Mittelpunkt sauber.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Eine Seitenhalbierende verbindet eine Ecke mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Die drei Seitenhalbierenden treffen sich im Schwerpunkt. Dieser teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis \(2:1\).