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Seitenhalbierende: Konstruktion und Schwerpunkt
Eine Seitenhalbierende verbindet einen Eckpunkt eines Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Jedes Dreieck besitzt drei Seitenhalbierende. Sie schneiden sich im Schwerpunkt.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Seitenhalbierende erkennen
Betrachte ein Dreieck $ABC$. Der Mittelpunkt der Seite $BC$ heißt $M_a$. Die Verbindung von $A$ zu $M_a$ ist die Seitenhalbierende $s_a$.
Seitenhalbierende
Eine Seitenhalbierende verläuft von einem Eckpunkt durch den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Als Strecke verbindet sie den Eckpunkt mit diesem Mittelpunkt.
Entsprechend gibt es auch $s_b$ vom Eckpunkt $B$ zur Mitte von $AC$ und $s_c$ vom Eckpunkt $C$ zur Mitte von $AB$.
Manche Darstellungen bezeichnen die ganze Gerade durch Eckpunkt und Seitenmitte als Seitenhalbierende, andere nur die Verbindungsstrecke im Dreieck. Für das Erkennen und Konstruieren ist entscheidend: Eckpunkt und Mitte der gegenüberliegenden Seite müssen auf ihr liegen.
Eine Seitenhalbierende halbiert die gegenüberliegende Seite. Sie halbiert nicht automatisch den Winkel am Eckpunkt.
Die Seitenmitte konstruieren
Was kannst du tun, wenn die Mitte einer Dreiecksseite noch nicht markiert ist? Du konstruierst zuerst ihre Mittelsenkrechte.
Mittelsenkrechte
Die Mittelsenkrechte einer Strecke verläuft durch deren Mittelpunkt und steht senkrecht auf der Strecke.
Für die Seite $BC$ gehst du so vor:
- Stelle den Zirkel auf einen Radius ein, der größer als die Hälfte von $BC$ ist.
- Zeichne um $B$ und um $C$ je einen Hilfskreis mit genau diesem Radius.
- Verbinde die beiden Schnittpunkte der Hilfskreise.
- Diese Verbindung ist die Mittelsenkrechte von $BC$. Ihr Schnittpunkt mit $BC$ ist der Mittelpunkt $M_a$.
Die gleichen Radien sorgen dafür, dass beide Kreisschnittpunkte von $B$ und $C$ gleich weit entfernt sind. Deshalb verläuft ihre Verbindung genau durch die Mitte von $BC$.
Die Mittelsenkrechte und die Seitenhalbierende sind verschiedene Linien: Die Mittelsenkrechte gehört zuerst zur Seite $BC$. Die Seitenhalbierende führt anschließend vom gegenüberliegenden Eckpunkt $A$ zu deren Mitte.
Die Seitenhalbierende zeichnen
Sobald du den Mittelpunkt $M_a$ gefunden hast, ist der letzte Schritt kurz:
- Lege das Lineal durch $A$ und $M_a$.
- Zeichne die Strecke $AM_a$.
- Beschrifte sie mit $s_a$.
Damit hast du die Seitenhalbierende vom Eckpunkt $A$ konstruiert. Wiederholst du das Verfahren für die beiden anderen Seiten, erhältst du alle drei Seitenhalbierenden.
Du sollst $s_a$ im Dreieck $ABC$ konstruieren. Zuerst bestimmst du mit zwei gleich großen Hilfskreisen die Mitte $M_a$ der Seite $BC$. Danach verbindest du $A$ mit $M_a$. Nicht die Mittelsenkrechte selbst, sondern die Verbindung $AM_a$ ist die gesuchte Seitenhalbierende.
Warum zwei gleich große Flächen entstehen
Eine Seitenhalbierende teilt nicht nur die gegenüberliegende Seite, sondern auch die Fläche des Dreiecks in zwei gleich große Teile.
Die Seitenhalbierende $AM_a$ zerlegt das Dreieck $ABC$ in die Dreiecke $ABM_a$ und $ACM_a$.
- Ihre Grundseiten $BM_a$ und $M_aC$ sind gleich lang, weil $M_a$ die Mitte von $BC$ ist.
- Beide Teildreiecke besitzen dieselbe Höhe zur Geraden durch $BC$, denn ihr gemeinsamer Eckpunkt ist $A$.
Für eine Grundseite der Länge $g$ und die zugehörige Höhe $h$ gilt:
$$A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$$
Jede Teilgrundseite hat die Länge $\frac{g}{2}$. Daher besitzt jedes Teildreieck den Flächeninhalt
$$A_{Teil} = \frac{1}{2} \cdot \frac{g}{2} \cdot h = \frac{g \cdot h}{4}$$
Beide Teilflächen sind also gleich groß.
Die Seite $BC$ ist $10\,\text{cm}$ lang. Die Höhe von $A$ auf die Gerade durch $BC$ beträgt $6\,\text{cm}$. Die Seitenhalbierende teilt $BC$ in zwei Abschnitte von je $5\,\text{cm}$.
Für jedes Teildreieck gilt:
$$A_{Teil} = \frac{1}{2} \cdot 5\,\text{cm} \cdot 6\,\text{cm} = 15\,\text{cm}^2$$
Beide Teildreiecke haben somit jeweils den Flächeninhalt $15\,\text{cm}^2$.
Schwerpunkt und Balance
Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich immer in genau einem Punkt. Dieser Punkt heißt Schwerpunkt und wird häufig mit $S$ bezeichnet.
Schwerpunkt
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der gemeinsame Schnittpunkt seiner drei Seitenhalbierenden.
Zum Zeichnen des Schwerpunkts genügen bereits zwei Seitenhalbierende: Ihr Schnittpunkt ist $S$. Die dritte Seitenhalbierende verläuft ebenfalls durch diesen Punkt und kann als Kontrolle dienen.
Die Seitenhalbierenden heißen auch Schwerelinien. Bei einem gleichmäßig schweren, ausgeschnittenen Dreieck lässt sich das anschaulich prüfen: Legst du eine Seitenhalbierende auf die Kante eines Lineals, kann das Dreieck entlang dieser Linie im Gleichgewicht liegen. Unterstützt du das Dreieck direkt im Schwerpunkt, ist $S$ sein Balancepunkt.
Die Flächenteilung ist eine geometrische Eigenschaft. Der Balanceversuch veranschaulicht zusätzlich die Bedeutung der Seitenhalbierenden als Schwerelinien.
Anwenden und Fehler prüfen
Vervollständige zunächst die Aussagen.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Eine Seitenhalbierende führt von einem durch den der gegenüberliegenden Seite. Um diese Mitte zu konstruieren, kann man zuerst die der Seite zeichnen. Die drei Seitenhalbierenden treffen sich im .
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Seitenhalbierende
- Erkennen: Eckpunkt und gegenüberliegende Seitenmitte verbinden
- Konstruieren: Seitenmitte mit der Mittelsenkrechten bestimmen
- Flächenteilung: zwei Teildreiecke mit gleichem Flächeninhalt
- Schwerpunkt: gemeinsamer Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden
- Balance: Seitenhalbierende als Schwerelinie
Abschluss-Check
Du kannst eine Seitenhalbierende nun über Eckpunkt und Seitenmitte erkennen, mithilfe der Mittelsenkrechten konstruieren und ihre beiden wichtigsten Eigenschaften begründen: Sie halbiert die Dreiecksfläche, und alle drei Seitenhalbierenden treffen sich im Schwerpunkt.