Mit Google fortfahren
Umkreis eines Dreiecks konstruieren und verstehen
Der Umkreis ist der Kreis, der durch alle drei Eckpunkte eines Dreiecks verläuft. Seinen Mittelpunkt findest du als Schnittpunkt von zwei Mittelsenkrechten. Die dritte Mittelsenkrechte verläuft ebenfalls durch diesen Punkt und eignet sich zur Kontrolle.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du den Umkreis?
Umkreis
Der Umkreis eines Dreiecks ist ein Kreis, auf dessen Kreislinie alle drei Eckpunkte des Dreiecks liegen. Sein Mittelpunkt heißt Umkreismittelpunkt.
Der Radius ist der Abstand vom Umkreismittelpunkt zu einem Eckpunkt. Dabei ist es gleichgültig, welchen Eckpunkt du auswählst: Der Mittelpunkt ist von allen drei Ecken gleich weit entfernt.
Verwechsle den Umkreis nicht mit dem Inkreis. Der Umkreis verläuft durch die Eckpunkte. Der Inkreis liegt im Dreieck und berührt die Seiten.
Umkreis: durch die Ecken. Inkreis: an den Seiten.
Warum führen Mittelsenkrechten zum Mittelpunkt?
Mittelsenkrechte
Die Mittelsenkrechte einer Strecke ist eine Gerade, die durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft und senkrecht auf ihr steht.
Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten einer Strecke hat zu deren beiden Endpunkten den gleichen Abstand. Das macht die Mittelsenkrechte zu einer Ortslinie: Sie enthält genau die Punkte mit dieser gemeinsamen Eigenschaft.
Betrachte ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C. Ein Punkt auf der Mittelsenkrechten der Seite AB ist von A und B gleich weit entfernt. Liegt derselbe Punkt auch auf der Mittelsenkrechten der Seite BC, ist er zusätzlich von B und C gleich weit entfernt. Damit hat er zu allen drei Ecken den gleichen Abstand.
Genau deshalb ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Umkreismittelpunkt. Ein Kreis um diesen Punkt kann durch alle drei Ecken verlaufen.
Du zeichnest die Mittelsenkrechte der Seite AB und danach die Mittelsenkrechte der Seite BC. Beide Geraden schneiden sich in M.
- Wegen der ersten Mittelsenkrechten ist M von A und B gleich weit entfernt.
- Wegen der zweiten Mittelsenkrechten ist M von B und C gleich weit entfernt.
- Deshalb ist M von A, B und C gleich weit entfernt.
Stichst du den Zirkel in M ein und öffnest ihn bis A, erreicht die Zirkelöffnung auch B und C. Der gezeichnete Kreis ist der Umkreis.
Wie zeichnest du den Umkreis?
Du brauchst ein Dreieck, ein Geodreieck, einen Zirkel und einen Stift.
- Wähle eine Dreiecksseite und markiere ihren Mittelpunkt.
- Zeichne durch diesen Mittelpunkt eine Gerade, die senkrecht auf der Seite steht. Das ist die erste Mittelsenkrechte.
- Wiederhole das Vorgehen an einer zweiten Dreiecksseite.
- Markiere den Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten. Er ist der Umkreismittelpunkt M.
- Stich den Zirkel in M ein und öffne ihn bis zu einem Eckpunkt.
- Zeichne den Kreis. Er muss durch alle drei Eckpunkte verlaufen.
- Zeichne bei Bedarf die dritte Mittelsenkrechte. Sie muss ebenfalls durch M gehen und dient damit als Kontrolle.
Treffen Kreislinie und Eckpunkte wegen kleiner Zeichenfehler nicht genau zusammen, prüfe zuerst die Seitenmittelpunkte, die rechten Winkel der Mittelsenkrechten und ihren Schnittpunkt.
Bei einem Dreieck ABC zeichnest du zuerst die Mittelsenkrechte von AB und anschließend die Mittelsenkrechte von AC. Ihr Schnittpunkt ist M. Danach stellst du den Zirkel auf den Abstand von M zu A ein und zeichnest den Kreis.
Zur Kontrolle prüfst du, ob auch B und C auf der Kreislinie liegen. Ist das der Fall, hast du den Umkreis richtig gezeichnet.
Wo liegt der Umkreismittelpunkt?
Die Lage des Umkreismittelpunkts hängt von den Innenwinkeln des Dreiecks ab.
| Dreiecksart | Kennzeichen | Lage des Umkreismittelpunkts |
|---|---|---|
| spitzwinklig | Alle Innenwinkel sind kleiner als 90° | innerhalb des Dreiecks |
| rechtwinklig | Ein Innenwinkel beträgt 90° | in der Mitte der Hypotenuse |
| stumpfwinklig | Ein Innenwinkel ist größer als 90° | außerhalb des Dreiecks |
Die Hypotenuse ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel.
Spitzwinklig: innen. Rechtwinklig: Hypotenusenmitte. Stumpfwinklig: außen.
Ein Mittelpunkt außerhalb des Dreiecks ist kein Konstruktionsfehler. Bei einem stumpfwinkligen Dreieck ist genau diese Lage richtig.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Umkreis eines Dreiecks
- Kreislinie: verläuft durch alle drei Eckpunkte
- Mittelpunkt: Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
- Radius: Abstand vom Mittelpunkt zu einer Ecke
- Begründung: gleiche Abstände zu allen Ecken
- Konstruktion: zwei Mittelsenkrechten zeichnen, Schnittpunkt markieren, Kreis ziehen
- Lage: innen, Hypotenusenmitte oder außen
Abschluss-Check
Prüfe zum Schluss deinen Lernweg: Du solltest erklären können, weshalb zwei Mittelsenkrechten den Mittelpunkt bestimmen, wie du danach den Kreis zeichnest und was seine Lage über die Dreiecksart verrät.