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Der Umkreis eines Dreiecks verbindet alle drei Eckpunkte mit einem Kreis. Nach dieser Seite kannst du den Mittelpunkt konstruieren und verstehen, warum Mittelsenkrechten dabei helfen.
- Ich kann den Umkreis eines Dreiecks definieren.
- Ich kann Mittelsenkrechten konstruieren.
- Ich kann den Umkreismittelpunkt finden.
- Ich kann den Radius ablesen.
- Ich kann besondere Dreiecke einordnen.
Grundidee
Der Mittelpunkt eines Kreises ist von allen Punkten auf dem Kreis gleich weit entfernt. Deshalb suchen wir einen Punkt, der von allen drei Dreiecksecken gleich weit entfernt ist.
Umkreis
Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis, der durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks geht. Sein Mittelpunkt heißt Umkreismittelpunkt.
Konstruiere den Umkreis eines Dreiecks.
- Zeichne die Mittelsenkrechte zu Seite \(AB\).
- Zeichne die Mittelsenkrechte zu Seite \(BC\).
- Ihr Schnittpunkt ist der Umkreismittelpunkt \(M\).
- Zeichne den Kreis um \(M\) durch einen Eckpunkt, zum Beispiel \(A\).
Der Kreis geht dann auch durch \(B\) und \(C\).
Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.
Schritt für Schritt
Eine Mittelsenkrechte steht senkrecht auf einer Seite und geht durch deren Mittelpunkt. Jeder Punkt auf ihr ist von den beiden Endpunkten der Seite gleich weit entfernt.
Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt in der Mitte der Hypotenuse.
- Die Hypotenuse ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel.
- Ihr Mittelpunkt ist von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt.
- Der Umkreisradius ist die halbe Hypotenusenlänge.
Hat die Hypotenuse 10 cm, ist der Umkreisradius 5 cm.
Bei spitzwinkligen Dreiecken liegt der Umkreismittelpunkt innen. Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt er außerhalb.
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Typische Fehler erkennen
Verwechsle Mittelsenkrechte nicht mit Winkelhalbierende. Für den Umkreis brauchst du Seiten und ihre Mittelpunkte, nicht die Halbierung der Winkel.
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Prüfungsmodus
Bei Konstruktionen reichen zwei Mittelsenkrechten. Die dritte ist eine Kontrolle: Sie sollte durch denselben Schnittpunkt gehen.
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
- Der Umkreis geht durch alle drei Eckpunkte.
- Der Mittelpunkt ist von allen Eckpunkten gleich weit entfernt.
- Du findest ihn mit Mittelsenkrechten.
- Beim rechtwinkligen Dreieck ist der Radius die halbe Hypotenuse.