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Mittelsenkrechte konstruieren und verstehen
Die Mittelsenkrechte einer Strecke verläuft durch deren Mittelpunkt und steht senkrecht auf der Strecke. Zugleich liegen auf ihr genau die Punkte, die von beiden Endpunkten gleich weit entfernt sind. Hier lernst du, diese Gerade zu erkennen, sicher zu konstruieren und beim Umkreis eines Dreiecks zu nutzen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine Mittelsenkrechte?
Stell dir eine Strecke mit den Endpunkten $A$ und $B$ vor. Ihre Mittelsenkrechte erfüllt zwei Bedingungen gleichzeitig:
- Sie geht durch den Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ und halbiert sie dadurch.
- Sie steht im Winkel von $90^\circ$ auf der Strecke.
Mittelsenkrechte
Die Mittelsenkrechte einer Strecke ist die Gerade, die durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft und senkrecht auf ihr steht.
Der Name hilft beim Erinnern: Mittel steht für den Mittelpunkt der Strecke, senkrecht für den rechten Winkel. Eine Gerade selbst besitzt keine Endpunkte und daher keine bestimmbare Mitte. Deshalb bezieht sich eine Mittelsenkrechte auf eine Strecke.
Die Strecke $\overline{AB}$ ist $7\,\text{cm}$ lang. Ihr Mittelpunkt liegt jeweils $3{,}5\,\text{cm}$ von $A$ und $B$ entfernt, denn
$$7\,\text{cm} : 2 = 3{,}5\,\text{cm}.$$
Eine Gerade durch diesen Mittelpunkt ist aber erst dann die Mittelsenkrechte, wenn sie $\overline{AB}$ unter einem Winkel von $90^\circ$ schneidet.
So konstruierst du sie mit Zirkel und Lineal
Für die Konstruktion brauchst du die Länge der Strecke nicht auszurechnen. Die beiden Endpunkte dienen als Mittelpunkte gleich großer Kreisbögen.
- Stelle den Zirkel auf einen Radius ein, der größer als die Hälfte von $AB$ ist.
- Stich in $A$ ein und zeichne einen Bogen oberhalb und unterhalb der Strecke.
- Verändere die Zirkelspanne nicht. Stich in $B$ ein und zeichne zwei Bögen, die die ersten Bögen schneiden.
- Markiere die beiden Bogenschnittpunkte $C$ und $D$.
- Ziehe mit dem Lineal die Gerade durch $C$ und $D$. Diese Gerade ist die Mittelsenkrechte.
Gleiche Zirkelspanne an beiden Endpunkten, Radius größer als die halbe Strecke, zwei Bogenschnittpunkte: Dann kannst du die Mittelsenkrechte zeichnen.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für beide Kreisbögen verwendest du den Radius. Dieser muss als die Hälfte der Strecke sein. Die Bögen brauchen Schnittpunkte. Ihre Verbindung ist die .
Typische Fehler finden und beheben
- Die Bögen schneiden sich nicht: Der Radius ist zu klein. Vergrößere ihn auf mehr als die halbe Streckenlänge.
- Die Bögen berühren sich nur einmal: Der Radius entspricht genau der halben Streckenlänge. Vergrößere ihn etwas.
- Die Verbindung verfehlt die Mitte: Wahrscheinlich wurde die Zirkelspanne zwischen $A$ und $B$ verändert. Wiederhole die Bögen mit exakt gleichem Radius.
- Es gibt nur einen Bogenschnittpunkt: Zeichne die Bögen auf beiden Seiten der Strecke weit genug.
Warum die Konstruktion funktioniert
Jeder Bogenschnittpunkt wurde mit demselben Zirkelradius von $A$ und von $B$ aus gezeichnet. Deshalb gilt für den oberen Schnittpunkt $C$:
$$CA = CB.$$
Für den unteren Schnittpunkt $D$ gilt ebenso:
$$DA = DB.$$
$C$ und $D$ sind also jeweils gleich weit von $A$ und $B$ entfernt. Alle Punkte mit dieser Eigenschaft liegen auf einer gemeinsamen Geraden: der Mittelsenkrechten. Darum ist die Gerade durch $C$ und $D$ genau die gesuchte Gerade.
Ortslinie
Eine Ortslinie ist die Menge aller Punkte, die eine bestimmte geometrische Bedingung erfüllen. Bei der Mittelsenkrechten lautet die Bedingung: gleicher Abstand zu $A$ und $B$.
Die Mittelsenkrechte teilt die Ebene außerdem in zwei Bereiche. Auf der Seite von $A$ liegen Punkte näher an $A$ als an $B$; auf der Seite von $B$ liegen sie näher an $B$. Genau auf der Mittelsenkrechten sind beide Abstände gleich.
So findest du den Umkreis eines Dreiecks
Ein Dreieck besitzt drei Seiten. Zu jeder Seite kannst du eine Mittelsenkrechte konstruieren. Die drei Mittelsenkrechten treffen sich in einem Punkt $M$.
Weil $M$ auf der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ liegt, gilt $MA=MB$. Weil $M$ außerdem auf der Mittelsenkrechten von $\overline{BC}$ liegt, gilt $MB=MC$. Damit folgt:
$$MA=MB=MC.$$
$M$ ist also von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt. Zeichnest du einen Kreis mit Mittelpunkt $M$ und Radius $MA$, verläuft er auch durch $B$ und $C$. Dieser Kreis heißt Umkreis des Dreiecks.
So konstruierst du den Umkreis eines Dreiecks $ABC$:
- Konstruiere die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$.
- Konstruiere die Mittelsenkrechte von $\overline{BC}$.
- Markiere ihren Schnittpunkt $M$. Die dritte Mittelsenkrechte verläuft ebenfalls durch $M$.
- Stich den Zirkel in $M$ ein und stelle ihn bis zu einem Eckpunkt ein.
- Zeichne den Kreis. Er geht durch $A$, $B$ und $C$.
Zwei Mittelsenkrechten genügen, um $M$ festzulegen. Die dritte eignet sich als Kontrolle.
Auch bei einer Achsenspiegelung hilft die Mittelsenkrechte: Die Spiegelachse ist die Mittelsenkrechte der Strecke zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Mittelsenkrechte
- Erkennen: Mittelpunkt und $90^\circ$
- Konstruieren: gleiche, ausreichend große Kreisbögen
- Deuten: gleicher Abstand zu beiden Endpunkten
- Anwenden: Umkreismittelpunkt und Spiegelachse