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Schwerpunkt eines Dreiecks: Konstruktion und Formel
Der Schwerpunkt $S$ ist der gemeinsame Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks. Bei einer gleichmäßig beschaffenen Dreiecksfläche ist er zugleich der Balancepunkt.
Du kannst ihn zeichnerisch mit zwei Seitenhalbierenden bestimmen oder aus den Koordinaten der drei Eckpunkte berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Seitenhalbierende führen zum Schwerpunkt
Eine Seitenhalbierende verbindet eine Ecke des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.
Schwerpunkt
Der Schwerpunkt $S$ eines Dreiecks ist der Schnittpunkt seiner drei Seitenhalbierenden. Zwei Seitenhalbierende genügen, um ihn eindeutig zu bestimmen; die dritte verläuft zur Kontrolle durch denselben Punkt.
Bei einer gleichmäßig dicken und gleichmäßig beschaffenen Dreiecksplatte liegt der Balancepunkt im Schwerpunkt. Stützt du die Platte dort, kann sie im Gleichgewicht bleiben.
Eine Winkelhalbierende hat eine andere Aufgabe: Sie halbiert einen Winkel. In einem allgemeinen Dreieck muss sie deshalb keine Seitenhalbierende sein. Nur bei besonderen Symmetrien, etwa im gleichseitigen Dreieck, fallen diese Linien zusammen.
So konstruierst du den Schwerpunkt
Gegeben ist ein Dreieck $ABC$. Um eine Seitenhalbierende von $B$ zur Seite $AC$ zu zeichnen, brauchst du zuerst den Mittelpunkt $M_b$ von $AC$.
- Zeichne um $A$ und $C$ Kreisbögen mit demselben Radius. Der Radius muss größer als die Hälfte von $AC$ sein.
- Markiere die beiden Schnittpunkte der Kreisbögen.
- Verbinde diese Schnittpunkte. Die Verbindung schneidet $AC$ im Mittelpunkt $M_b$.
- Verbinde $B$ mit $M_b$. Die Strecke $BM_b$ ist eine Seitenhalbierende.
- Wiederhole die Konstruktion an einer zweiten Seite.
- Markiere den Schnittpunkt der beiden Seitenhalbierenden als $S$.
- Zeichne bei Bedarf die dritte Seitenhalbierende als Kontrolle ein.
Für die Konstruktion des Schwerpunkts brauchst du zwei Seitenhalbierende. Eine einzelne Seitenhalbierende legt nur fest, dass $S$ irgendwo auf ihr liegt.
Übung: Konstruiere selbst
Zeichne ein beliebiges Dreieck $ABC$. Konstruiere mit Zirkel und Lineal die Mittelpunkte von zwei Seiten, zeichne die zugehörigen Seitenhalbierenden und markiere ihren Schnittpunkt $S$. Konstruiere danach die dritte Seitenhalbierende als Kontrolle.
Selbstkontrolle: Alle drei Seitenhalbierenden müssen durch $S$ verlaufen. Treffen sie sich nicht in einem Punkt, prüfe zuerst, ob deine Kreisbögen jeweils denselben Radius hatten und ob du jeden Seitenmittelpunkt mit der gegenüberliegenden Ecke verbunden hast.
So berechnest du die Koordinaten
Sind die Eckpunkte
$$A(x_A,y_A),\quad B(x_B,y_B),\quad C(x_C,y_C),$$
bildest du für jede Koordinatenrichtung den Mittelwert der drei Werte:
$$S\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right).$$
Du addierst also zuerst alle drei $x$-Koordinaten und teilst durch $3$. Danach machst du dasselbe mit den drei $y$-Koordinaten.
Gegeben sind $A(1;2)$, $B(7;5)$ und $C(4;8)$.
Für die $x$-Koordinate gilt:
$$x_S=\frac{1+7+4}{3}=\frac{12}{3}=4.$$
Für die $y$-Koordinate gilt:
$$y_S=\frac{2+5+8}{3}=\frac{15}{3}=5.$$
Damit ist der Schwerpunkt $S(4;5)$.
Plausibilitätsprüfung: Beide Koordinaten liegen zwischen den jeweils kleinsten und größten Eckkoordinaten. Das passt dazu, dass der Schwerpunkt im Inneren des Dreiecks liegt.
Im Raum funktioniert das genauso. Bei drei Punkten mit $x$-, $y$- und $z$-Koordinate bildest du auch den Mittelwert der drei $z$-Werte.
Das Teilungsverhältnis 2 zu 1
Der Schwerpunkt liegt nicht in der Mitte einer Seitenhalbierenden. Vom Eckpunkt aus teilt er sie im Verhältnis $2:1$:
$$\text{Eckpunkt–}S:S\text{–Seitenmittelpunkt}=2:1.$$
Die gesamte Seitenhalbierende besteht damit aus drei gleich großen Verhältnisanteilen. Zwei Anteile liegen zwischen Eckpunkt und Schwerpunkt, ein Anteil zwischen Schwerpunkt und Seitenmittelpunkt.
Eine Seitenhalbierende ist $12\,\text{cm}$ lang.
Ein Verhältnisanteil ist:
$$12\,\text{cm}:3=4\,\text{cm}.$$
Vom Eckpunkt bis zum Schwerpunkt sind es zwei Anteile:
$$2\cdot4\,\text{cm}=8\,\text{cm}.$$
Vom Schwerpunkt bis zum Seitenmittelpunkt ist es ein Anteil, also $4\,\text{cm}$.
Kontrolle: $8\,\text{cm}+4\,\text{cm}=12\,\text{cm}$ und $8:4=2:1$.
Nenne beim Verhältnis immer die Reihenfolge der Strecken. Vom Eckpunkt aus lautet es $2:1$; die längere Teilstrecke liegt zwischen Ecke und Schwerpunkt.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Schwerpunkt eines Dreiecks
- Bedeutung: Schnittpunkt und Balancepunkt
- Grundlage: Seitenhalbierende
- Konstruktion: zwei Schnittlinien genügen
- Berechnung: Mittelwert der Eckkoordinaten
- Lage: im Inneren des Dreiecks
- Teilung: vom Eckpunkt aus $2:1$
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Aufgaben begründen kannst, kannst du den Schwerpunkt erkennen, konstruieren, berechnen und seine Lage auf einer Seitenhalbierenden prüfen.