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Sehne, Sekante und Tangente am Kreis erklärt
Eine Sehne verbindet zwei Punkte der Kreislinie. Eine Sekante schneidet den Kreis in zwei Punkten, eine Tangente berührt ihn in genau einem Punkt. Entscheidend ist außerdem: Eine Sehne ist eine Strecke, Sekante und Tangente sind Geraden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Sehne und Sekante sicher unterscheiden
Stell dir zwei Punkte $A$ und $B$ auf einer Kreislinie vor. Ihre Verbindung zwischen den Punkten ist eine Sehne. Verlängerst du diese Strecke in beide Richtungen, entsteht eine Sekante.
Sehne
Eine Sehne ist eine Strecke, deren beide Endpunkte auf der Kreislinie liegen. Sie hat einen Anfang und ein Ende.
Sekante
Eine Sekante ist eine Gerade, die den Kreis in zwei Punkten schneidet. Als Gerade verläuft sie über beide Schnittpunkte hinaus unbegrenzt weiter.
Der Durchmesser ist eine besondere Sehne: Er verläuft durch den Mittelpunkt $M$. Mit Radius $r$ und Durchmesser $d$ gilt $d=2r$.
Die Punkte $P$ und $Q$ liegen auf der Kreislinie. Nur die Verbindung von $P$ bis $Q$ ist die Sehne $\overline{PQ}$. Die vollständige Gerade durch $P$ und $Q$ ist eine Sekante.
Geraden nach Schnittpunkten einordnen
Du kannst die Lage einer Geraden zum Kreis allein an der Anzahl gemeinsamer Punkte erkennen.
- Zwei gemeinsame Punkte: Die Gerade ist eine Sekante.
- Genau ein gemeinsamer Punkt: Die Gerade ist eine Tangente. Der gemeinsame Punkt heißt Berührungspunkt.
- Kein gemeinsamer Punkt: Die Gerade ist eine Passante.
Eine Sekante durch den Kreismittelpunkt heißt Zentrale. Der Abschnitt zwischen ihren beiden Kreispunkten ist dann ein Durchmesser.
Zählen genügt: zwei Punkte – Sekante, ein Punkt – Tangente, kein Punkt – Passante.
Eine Gerade wird parallel verschoben. Zuerst schneidet sie den Kreis zweimal, dann berührt sie ihn nur noch und schließlich liegt sie vollständig außerhalb. Sie ist nacheinander Sekante, Tangente und Passante.
Eine Tangente im Kreispunkt konstruieren
Eine Tangente steht an ihrem Berührungspunkt senkrecht auf dem Radius. Diese Eigenschaft liefert direkt die Konstruktion.
Berührungsradius
Der Berührungsradius verbindet den Mittelpunkt $M$ mit dem Berührungspunkt $B$. Die Tangente in $B$ steht senkrecht auf $\overline{MB}$.
So konstruierst du die Tangente in einem gegebenen Kreispunkt $B$:
- Verbinde $B$ mit dem Mittelpunkt $M$.
- Errichte durch $B$ eine Senkrechte zu $\overline{MB}$.
- Die entstandene Gerade ist die Tangente in $B$.
Du möchtest im Kreispunkt $B$ eine Tangente zeichnen. Eine beliebige Gerade durch $B$ reicht nicht: Sie könnte den Kreis noch ein zweites Mal schneiden. Erst die Senkrechte zum Radius $\overline{MB}$ erfüllt die Tangentenbedingung.
Radius und Tangente bilden am Berührungspunkt einen Winkel von $90^\circ$.
Mit Sehnen rechnen und den Mittelpunkt finden
Der Durchmesser ist die längste Sehne eines Kreises. Bei einem Radius von $r=3\,\mathrm{cm}$ beträgt seine Länge
$$d=2r=2\cdot 3\,\mathrm{cm}=6\,\mathrm{cm}.$$
Keine Sehne dieses Kreises kann länger als $6\,\mathrm{cm}$ sein, denn keine zwei Punkte der Kreislinie liegen weiter auseinander als die Endpunkte eines Durchmessers.
Sehnen helfen dir auch, den unbekannten Kreismittelpunkt zu finden. Die Mittelsenkrechte einer Sehne verläuft durch den Mittelpunkt: Dieser hat zu beiden Endpunkten der Sehne denselben Abstand.
So rekonstruierst du den Mittelpunkt:
- Zeichne zwei nicht parallele Sehnen.
- Konstruiere zu jeder Sehne die Mittelsenkrechte.
- Markiere den Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten. Er ist der Kreismittelpunkt.
Von einem Kreis ist nur ein Bogen sichtbar. Zeichne zwei Sehnen in den Bogen und konstruiere ihre Mittelsenkrechten. Ihr Schnittpunkt liefert den Mittelpunkt. Der Abstand vom Mittelpunkt zum Bogen ist der Radius, mit dem du den Kreis vervollständigen kannst.
Vertiefung: Tangenten von einem äußeren Punkt
Von einem Punkt $P$ außerhalb eines Kreises kannst du genau zwei Tangenten an den Kreis zeichnen. Ihre Berührungspunkte erhältst du mit einem Hilfskreis über der Strecke $\overline{MP}$.
- Verbinde den äußeren Punkt $P$ mit dem Kreismittelpunkt $M$.
- Bestimme den Mittelpunkt $Q$ der Strecke $\overline{MP}$.
- Zeichne um $Q$ einen Kreis mit Radius $QM$. Die Strecke $\overline{MP}$ ist sein Durchmesser.
- Markiere seine Schnittpunkte $T_1$ und $T_2$ mit dem gegebenen Kreis.
- Zeichne die Geraden $PT_1$ und $PT_2$.
Warum funktioniert das? Nach dem Satz des Thales ist ein Winkel von $90^\circ$ gegeben, wenn sein Scheitel auf einem Kreis liegt und seine Schenkel zu den Endpunkten eines Durchmessers führen. Da $T_1$ und $T_2$ auf dem Hilfskreis mit dem Durchmesser $\overline{MP}$ liegen, sind die Winkel bei $T_1$ und $T_2$ rechte Winkel. Deshalb stehen $PT_1$ und $PT_2$ senkrecht auf den Radien $MT_1$ und $MT_2$. Beide Geraden sind Tangenten.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Linien am Kreis
- Sehne: Strecke zwischen zwei Kreispunkten
- Durchmesser: längste Sehne durch den Mittelpunkt
- Sekante: Gerade mit zwei Schnittpunkten
- Tangente: Gerade mit einem Berührungspunkt
- Passante: Gerade ohne gemeinsamen Punkt
- Tangente im Kreispunkt: Senkrechte zum Berührungsradius
- Kreismittelpunkt: Schnittpunkt zweier Sehnenmittelsenkrechten
- Tangenten vom äußeren Punkt: Hilfskreis mit Durchmesser $MP$