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Sekante: Definition, Steigung und Gleichung
Eine Sekante ist eine Gerade, die einen Kreis in zwei Punkten schneidet oder durch zwei ausgewählte Punkte eines Funktionsgraphen verläuft. Am Graphen zeigt ihre Steigung die durchschnittliche Änderung zwischen diesen Punkten.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wo begegnet dir eine Sekante?
Stell dir eine Gerade vor, die durch einen Kreis läuft: Sie tritt an einer Stelle ein und an einer anderen wieder aus. Die beiden Stellen sind ihre Schnittpunkte mit dem Kreis.
Sekante
Eine Sekante ist eine unendlich lange Gerade, die einen Kreis in genau zwei Punkten schneidet. Bei einem Funktionsgraphen bezeichnet man die Gerade durch zwei ausgewählte Graphenpunkte als Sekante; sie kann den Graphen zusätzlich noch an weiteren Stellen schneiden.
Am Kreis lassen sich Geraden anhand ihrer gemeinsamen Punkte unterscheiden:
- Sekante: zwei Schnittpunkte
- Tangente: genau ein Berührpunkt
- Passante: kein gemeinsamer Punkt
- Zentrale: eine besondere Sekante, die durch den Kreismittelpunkt verläuft
Sehne
Eine Sehne ist nur die endliche Strecke zwischen zwei Punkten auf einem Kreis. Die Sekante dagegen setzt sich in beide Richtungen unbegrenzt fort.
Was bedeutet die Sekante am Funktionsgraphen?
Wählst du zwei verschiedene Stellen $x_1$ und $x_2$ eines Funktionsgraphen, erhältst du die Punkte
$P(x_1\mid f(x_1))$ und $Q(x_2\mid f(x_2))$.
Die Gerade durch $P$ und $Q$ ist die Sekante. Ihre Steigung ist
$$m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$
Dabei muss $x_1\ne x_2$ gelten, weil eine Division durch null nicht möglich ist.
Die Sekantensteigung beschreibt die durchschnittliche Änderungsrate: Der Zähler gibt die Änderung der Funktionswerte an, der Nenner die Änderung der $x$-Werte.
Sekantensteigung bedeutet: Änderung nach oben oder unten geteilt durch Änderung nach rechts.
Bei einer Weg-Zeit-Funktion entspricht diese Idee der Durchschnittsgeschwindigkeit über einen Zeitraum. Sie sagt nicht, wie schnell sich etwas in einem einzelnen Moment bewegt.
Wie bestimmst du die Sekantengleichung?
Eine nicht senkrechte Gerade lässt sich als
$$y=mx+b$$
schreiben. $m$ ist die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.
Für zwei Punkte $P(x_1\mid y_1)$ und $Q(x_2\mid y_2)$ gehst du so vor:
- Berechne $m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$.
- Setze $m$ und einen der Punkte in $y=mx+b$ ein.
- Löse nach $b$ auf.
- Schreibe die Geradengleichung auf.
- Setze beide Punkte zur Kontrolle ein.
Gegeben sind $P(0\mid -1)$ und $Q(2\mid 3)$.
Zuerst berechnest du die Steigung:
$$m=\frac{3-(-1)}{2-0}=\frac{4}{2}=2$$
Nun setzt du $P$ in $y=mx+b$ ein:
$$-1=2\cdot 0+b$$
Daraus folgt $b=-1$. Die Sekantengleichung lautet also
$$y=2x-1$$
Kontrolle mit $Q$: $2\cdot 2-1=3$. Damit liegt auch $Q$ auf der Geraden.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für $P(0\mid -1)$ und $Q(2\mid 3)$ beträgt die Änderung der $y$-Werte . Die Änderung der $x$-Werte beträgt . Deshalb ist die Steigung und die Gleichung lautet .
Wie gehst du bei gegebenen Funktionen vor?
Sind nur die $x$-Werte genannt, fehlen zunächst die vollständigen Punktkoordinaten. Berechne deshalb zuerst die zugehörigen Funktionswerte.
Gegeben sind $f(x)=3x^2+1$, $x_1=-1$ und $x_2=2$.
Die Punkte lauten:
$$P(-1\mid f(-1))=P(-1\mid 4)$$
$$Q(2\mid f(2))=Q(2\mid 13)$$
Damit ergibt sich
$$m=\frac{13-4}{2-(-1)}=\frac{9}{3}=3$$
Setze $Q$ ein:
$$13=3\cdot 2+b$$
Also ist $b=7$ und die Sekante hat die Gleichung
$$y=3x+7$$
Die Steigung $3$ bedeutet: Zwischen den gewählten Stellen steigt der Funktionswert durchschnittlich um $3$, wenn $x$ um $1$ zunimmt.
Wie zeichnest und prüfst du eine Sekante?
Für $y=2x-1$ ist der Achsenabschnitt $b=-1$. Markiere deshalb zuerst den Punkt $(0\mid -1)$ auf der $y$-Achse.
Die Steigung $m=2=2/1$ bedeutet: Gehe ein Kästchen nach rechts und zwei Kästchen nach oben. So erreichst du den zweiten Punkt $(1\mid 1)$. Zeichne durch beide Punkte eine Gerade.
Prüfe einen gezeichneten Punkt immer durch Einsetzen. Für $x=1$ gilt hier $y=2\cdot1-1=1$; deshalb ist $(1\mid1)$ richtig, nicht $(1\mid2)$.
Typische Fehler sind:
- Zähler und Nenner in unterschiedlicher Reihenfolge zu bilden;
- ein Minuszeichen vor einer negativen Zahl zu übersehen;
- den Achsenabschnitt mit der Steigung zu verwechseln;
- eine Sehne statt der ganzen Sekante zu zeichnen;
- eine Punktkoordinate nicht durch Einsetzen zu kontrollieren.
Wie unterscheidet sich die Sekante von der Tangente?
Die Sekante verbindet zwei verschiedene Graphenpunkte und beschreibt die durchschnittliche Änderung zwischen ihnen.
Eine Tangente gehört zu einem einzelnen betrachteten Graphenpunkt und beschreibt dort die momentane Änderung. Ihre Steigung wird mit der Ableitung $f'(x_0)$ bestimmt.
Rücken die beiden Punkte der Sekante immer näher zusammen, kann ihre Steigung sich einer Tangentensteigung annähern. Der genaue Grenzübergang gehört zum Ableitungsbegriff; für eine Sekantengleichung reichen zwei verschiedene Punkte und die Zweipunkteformel.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Sekante
- Kreis: zwei Schnittpunkte
- Kreis: durch den Mittelpunkt heißt Zentrale
- Funktionsgraph: verbindet zwei ausgewählte Punkte
- Funktionsgraph: zeigt die durchschnittliche Änderung
- Berechnung: Funktionswerte und Steigung bestimmen
- Berechnung: Achsenabschnitt einsetzen und Punkte prüfen
- Abgrenzung: Sehne ist eine endliche Strecke
- Abgrenzung: Tangente zeigt die momentane Änderung
- Abgrenzung: Passante hat keinen Kreispunkt
Abschluss-Check
Wenn du eine Sekante sicher bestimmen willst, merke dir den Kernweg: zwei Punkte finden, Änderungen in derselben Reihenfolge bilden, Steigung berechnen, einen Punkt einsetzen und beide Punkte prüfen.