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Dreieck: Arten, Winkel, Umfang und Fläche
Ein Dreieck ist eine ebene Figur mit drei Ecken und drei Seiten. Es bleibt ein Dreieck, wenn du es drehst oder wenn seine Seiten unterschiedlich lang sind. Auf dieser Seite lernst du, Dreiecke zu erkennen, zu beschriften, zu unterscheiden und wichtige Größen zu berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du ein Dreieck?
Drei Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, werden paarweise durch Strecken verbunden. So entsteht ein Dreieck. Die Punkte sind seine Ecken, die Verbindungsstrecken seine Seiten.
Ein Dreieck hat immer genau drei Ecken und drei Seiten. Seine Lage spielt keine Rolle: Auch ein gedrehtes Dreieck bleibt ein Dreieck.
Wie beschriftest du ein Dreieck?
Die Ecken heißen gewöhnlich $A$, $B$ und $C$. Du beschriftest sie gegen den Uhrzeigersinn. Die Seiten heißen $a$, $b$ und $c$.
Dabei gilt eine feste Zuordnung:
- Die Seite $a$ liegt der Ecke $A$ gegenüber.
- Die Seite $b$ liegt der Ecke $B$ gegenüber.
- Die Seite $c$ liegt der Ecke $C$ gegenüber.
- Die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ liegen an den Ecken $A$, $B$ und $C$.
Suchst du die Seite $b$, schaust du auf die Strecke gegenüber von $B$. Der Winkel an der Ecke $B$ heißt dagegen $\beta$.
Welche Dreiecksarten gibt es?
Du kannst jedes Dreieck sowohl nach seinen Seitenlängen als auch nach seinen Innenwinkeln beschreiben.
Einteilung nach Seiten
- Gleichseitig: Alle drei Seiten sind gleich lang. Alle drei Winkel sind dann $60^\circ$ groß.
- Gleichschenklig: Mindestens zwei Seiten sind gleich lang. Die beiden Winkel gegenüber den gleich langen Seiten sind ebenfalls gleich groß. Damit ist ein gleichseitiges Dreieck ein besonderer Fall des gleichschenkligen Dreiecks.
- Unregelmäßig oder ungleichseitig: Alle drei Seiten sind unterschiedlich lang.
Einteilung nach Winkeln
- Spitzwinklig: Alle drei Winkel sind kleiner als $90^\circ$.
- Rechtwinklig: Genau ein Winkel ist $90^\circ$.
- Stumpfwinklig: Genau ein Winkel ist größer als $90^\circ$.
Ein gleichseitiges Dreieck ist zugleich spitzwinklig, denn jeder seiner drei Winkel beträgt $60^\circ$.
Wie berechnest du einen fehlenden Winkel?
Die drei Innenwinkel eines Dreiecks ergeben zusammen immer $180^\circ$:
$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$$
Kennst du zwei Winkel, ziehst du beide von $180^\circ$ ab.
Gegeben sind $\alpha=65^\circ$ und $\beta=45^\circ$. Gesucht ist $\gamma$.
$$\gamma=180^\circ-65^\circ-45^\circ=70^\circ$$
Kontrolle: $65^\circ+45^\circ+70^\circ=180^\circ$. Der berechnete Winkel passt.
Wie berechnest du den Umfang?
Der Umfang ist die Länge des Randes. Du addierst alle drei Seiten:
$$U=a+b+c$$
Alle Längen müssen in derselben Einheit angegeben sein. Das Ergebnis ist ebenfalls eine Länge, zum Beispiel in Zentimetern.
Für $a=4\,\mathrm{cm}$, $b=5\,\mathrm{cm}$ und $c=6\,\mathrm{cm}$ gilt:
$$U=4\,\mathrm{cm}+5\,\mathrm{cm}+6\,\mathrm{cm}=15\,\mathrm{cm}$$
Der Rand des Dreiecks ist also $15\,\mathrm{cm}$ lang.
Ist der Umfang bekannt, kannst du eine fehlende Seite berechnen. Für $a$ gilt zum Beispiel:
$$a=U-b-c$$
Wie berechnest du den Flächeninhalt?
Der Flächeninhalt beschreibt, wie groß die Fläche im Inneren ist. Du brauchst eine Grundseite $g$ und die zugehörige Höhe $h$. Die Höhe verläuft von der gegenüberliegenden Ecke senkrecht zur Geraden der Grundseite. Bei einem stumpfwinkligen Dreieck kann sie dabei außerhalb des Dreiecks auf die verlängerte Grundseite treffen.
$$A=\frac{g\cdot h}{2}$$
Eine passend gedrehte Kopie des Dreiecks lässt sich mit dem ursprünglichen Dreieck zu einem Parallelogramm zusammensetzen. Dieses hat die Grundseite $g$, die Höhe $h$ und den Flächeninhalt $g\cdot h$. Das ursprüngliche Dreieck nimmt die Hälfte davon ein.
Kombiniere eine Grundseite nur mit ihrer zugehörigen senkrechten Höhe. Umfang wird in Längeneinheiten, Fläche in Quadrateinheiten angegeben.
Gegeben sind $c=12\,\mathrm{cm}$ und die zugehörige Höhe $h_c=5\,\mathrm{cm}$.
$$A=\frac{12\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}}{2}=30\,\mathrm{cm}^2$$
Die Dreiecksfläche beträgt $30\,\mathrm{cm}^2$.
Bei einem rechtwinkligen Dreieck können die beiden Seiten am rechten Winkel als Grundseite und zugehörige Höhe dienen. Sind sie $a$ und $b$, dann gilt:
$$A=\frac{a\cdot b}{2}$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für die Fläche brauchst du eine und die . Du berechnest zunächst ihr Produkt und teilst es durch . Das Ergebnis steht in einer .
Welche besonderen Linien und Kongruenzsätze helfen?
Drei Linienarten beginnen an einer Ecke, erfüllen aber verschiedene Aufgaben:
- Eine Höhe verläuft von einer Ecke senkrecht zur Geraden der gegenüberliegenden Seite.
- Eine Winkelhalbierende teilt den Winkel an einer Ecke in zwei gleich große Winkel.
- Eine Seitenhalbierende verbindet eine Ecke mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Sie muss nicht senkrecht sein.
Eine Mittelsenkrechte steht senkrecht auf einer Seite und geht durch deren Mittelpunkt. Sie muss nicht durch die gegenüberliegende Ecke verlaufen.
Jede dieser Linienarten kommt bei einem Dreieck dreimal vor. Die drei Höhen treffen sich im Höhenschnittpunkt, die drei Seitenhalbierenden im Schwerpunkt. Die drei Mittelsenkrechten treffen sich im Mittelpunkt des Umkreises; dieser Punkt ist von allen drei Ecken gleich weit entfernt.
Vertiefung: Wann sind Dreiecke deckungsgleich?
Kongruent bedeutet deckungsgleich: Die Dreiecke passen durch Verschieben, Drehen oder Umklappen genau aufeinander. Eine dieser Angaben genügt:
- SSS: drei übereinstimmende Seiten,
- SWS: zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel,
- WSW: eine Seite und ihre beiden angrenzenden Winkel,
- SSW: zwei Seiten und der Winkel gegenüber der größeren der beiden Seiten.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Dreieck
- Erkennen: drei Ecken und drei Seiten
- Beschriften: Ecken, gegenüberliegende Seiten und Winkel
- Unterscheiden: Arten nach Seiten und Winkeln
- Winkel berechnen: Innenwinkelsumme $180^\circ$
- Umfang berechnen: $U=a+b+c$
- Fläche berechnen: $A=\frac{g\cdot h}{2}$
- Untersuchen: besondere Linien und Kongruenzsätze