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Rechtwinkliges Dreieck: Formeln und Beispiele
Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt genau einen Winkel von $90^\circ$. Die beiden Seiten am rechten Winkel heißen Katheten; ihnen gegenüber liegt die Hypotenuse. Mit diesen Merkmalen kannst du das Dreieck erkennen, seinen Umfang und Flächeninhalt bestimmen sowie fehlende Seiten berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du ein rechtwinkliges Dreieck?
Ein rechtwinkliges Dreieck hat genau einen rechten Winkel. Er misst $90^\circ$ und wird in Zeichnungen häufig durch ein kleines Quadrat markiert.
Katheten
Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten. Sie werden häufig mit $a$ und $b$ bezeichnet.
Hypotenuse
Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse. Sie ist immer die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks und wird häufig mit $c$ bezeichnet.
Suche zuerst den rechten Winkel. Die gegenüberliegende Seite ist die Hypotenuse; die beiden anliegenden Seiten sind die Katheten.
Die Bezeichnungen Ankathete und Gegenkathete hängen dagegen davon ab, welchen spitzen Winkel du betrachtest. Die Hypotenuse bleibt immer dieselbe Seite.
Welche Winkel gehören zusammen?
Die Innenwinkel jedes Dreiecks ergeben zusammen $180^\circ$. Da ein Winkel bereits $90^\circ$ misst, ergänzen sich die beiden übrigen, spitzen Winkel ebenfalls zu $90^\circ$.
Ein spitzer Winkel misst $34^\circ$. Für den anderen spitzen Winkel gilt:
$$90^\circ-34^\circ=56^\circ$$
Die Kontrolle lautet:
$$90^\circ+34^\circ+56^\circ=180^\circ$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt . Im rechtwinkligen Dreieck misst ein Winkel . Deshalb ergeben die beiden spitzen Winkel zusammen .
Wie berechnest du Umfang und Fläche?
Für den Umfang addierst du alle drei Seitenlängen:
$$U=a+b+c$$
Gegeben sind $a=20\,\mathrm{cm}$, $b=21\,\mathrm{cm}$ und $c=29\,\mathrm{cm}$.
$$U=20\,\mathrm{cm}+21\,\mathrm{cm}+29\,\mathrm{cm}=70\,\mathrm{cm}$$
Der Umfang beträgt $70\,\mathrm{cm}$.
Die beiden Katheten stehen senkrecht aufeinander. Deshalb kannst du sie als Grundseite und zugehörige Höhe verwenden. Für den Flächeninhalt gilt:
$$A=\frac{a\cdot b}{2}$$
Der Faktor $\frac12$ entsteht, weil zwei passende rechtwinklige Dreiecke ein Rechteck mit der Fläche $a\cdot b$ bilden.
Gegeben sind $a=13\,\mathrm{cm}$ und $b=7{,}5\,\mathrm{cm}$.
$$A=\frac{13\,\mathrm{cm}\cdot7{,}5\,\mathrm{cm}}{2}=48{,}75\,\mathrm{cm}^2$$
Der Flächeninhalt beträgt $48{,}75\,\mathrm{cm}^2$. Beachte die quadratische Einheit.
Wie findest du eine fehlende Seite?
Für jedes rechtwinklige Dreieck gilt der Satz des Pythagoras:
$$a^2+b^2=c^2$$
Dabei müssen $a$ und $b$ die Katheten und $c$ die Hypotenuse sein.
- Fehlt die Hypotenuse, addierst du die Kathetenquadrate und ziehst anschließend die Quadratwurzel.
- Fehlt eine Kathete, ziehst du das Quadrat der bekannten Kathete vom Hypotenusenquadrat ab und ziehst anschließend die Quadratwurzel.
Gegeben sind die Hypotenuse $c=10\,\mathrm{cm}$ und die Kathete $a=6\,\mathrm{cm}$. Gesucht ist $b$.
Zuerst setzt du die Werte ein:
$$6^2+b^2=10^2$$
Dann stellst du nach $b^2$ um:
$$b^2=10^2-6^2=100-36=64$$
Nun ziehst du die Quadratwurzel:
$$b=\sqrt{64}=8\,\mathrm{cm}$$
Als Seitenlänge kommt nur die positive Lösung infrage. Die Kontrolle bestätigt das Ergebnis:
$$6^2+8^2=36+64=100=10^2$$
Eine $4\,\mathrm{m}$ lange Leiter lehnt an einer senkrechten Wand. Ihr Fuß steht $1{,}2\,\mathrm{m}$ von der Wand entfernt. Wand und Boden bilden den rechten Winkel; die Leiter ist die Hypotenuse.
Für die Höhe $h$ gilt:
$$h^2=4^2-1{,}2^2=16-1{,}44=14{,}56$$
$$h=\sqrt{14{,}56}\,\mathrm{m}\approx3{,}82\,\mathrm{m}$$
Die Leiter berührt die Wand in etwa $3{,}82\,\mathrm{m}$ Höhe. Das Ergebnis ist plausibel, weil die Höhe kleiner als die $4\,\mathrm{m}$ lange Hypotenuse ist.
Wie prüfst du, ob ein Dreieck rechtwinklig ist?
Kennst du alle drei Seiten, kannst du die Umkehrung des Satzes des Pythagoras verwenden:
- Bestimme die längste Seite und nenne sie $c$.
- Setze die beiden kürzeren Seiten als $a$ und $b$ ein.
- Prüfe, ob $a^2+b^2=c^2$ gilt.
Stimmt die Gleichung, ist das Dreieck rechtwinklig. Stimmt sie nicht, ist es nicht rechtwinklig.
Ein Dreieck hat die Seitenlängen $5\,\mathrm{cm}$, $12\,\mathrm{cm}$ und $13\,\mathrm{cm}$. Die längste Seite ist $13\,\mathrm{cm}$.
$$5^2+12^2=25+144=169$$
$$13^2=169$$
Beide Seiten der Gleichung sind gleich. Das Dreieck ist daher rechtwinklig.
Der Satz des Pythagoras darf nur bei einem rechtwinkligen Dreieck zum Berechnen verwendet werden. Sind drei Seiten gegeben, musst du die Rechtwinkligkeit erst mit der Umkehrung prüfen. Wähle dabei immer die längste Seite als mögliche Hypotenuse.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Rechtwinkliges Dreieck
- Erkennen: genau ein Winkel von $90^\circ$
- Seiten: zwei Katheten und eine Hypotenuse
- Winkel: die beiden spitzen Winkel ergeben $90^\circ$
- Umfang: alle drei Seiten addieren
- Fläche: Katheten multiplizieren und durch $2$ teilen
- Fehlende Seite: Satz des Pythagoras verwenden
- Prüfung: längste Seite wählen und Quadrate vergleichen
- Kontrolle: Einheit, längste Seite und Plausibilität prüfen