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Kathete und Hypotenuse erkennen und berechnen
In einem rechtwinkligen Dreieck liegt die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden Katheten treffen sich am rechten Winkel. Diese Lage entscheidet auch darüber, ob du beim Satz des Pythagoras addierst oder subtrahierst.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Seiten sicher zuordnen
Suche zuerst den Winkel von $90^\circ$. Die Seite gegenüber ist die Hypotenuse. Sie ist im rechtwinkligen Dreieck zugleich die längste Seite. Die beiden anderen Seiten sind die Katheten.
Hypotenuse
Die Hypotenuse ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel. In der Gleichung des Satzes von Pythagoras steht ihr Quadrat allein.
Katheten
Die Katheten sind die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen. Ihre Quadrate werden in der Grundformel addiert.
Die Buchstaben der Seiten können wechseln. Liegt zum Beispiel $x$ gegenüber dem rechten Winkel, gilt:
$$y^2+z^2=x^2$$
Verlasse dich nicht auf Buchstaben oder die Lage auf dem Blatt: Gegenüber von $90^\circ$ liegt die Hypotenuse.
Eine Skizze hilft beim Zuordnen. Miss daran aber keine Längen ab, wenn sie nicht maßstabsgerecht gezeichnet ist.
Die Hypotenuse berechnen
Der Satz des Pythagoras gilt nur für rechtwinklige Dreiecke:
$$\text{Kathete}^2+\text{Kathete}^2=\text{Hypotenuse}^2$$
Sind beide Katheten bekannt, addierst du ihre Quadrate und ziehst anschließend die Quadratwurzel:
$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$
Gegeben sind die Katheten $a=6\,\mathrm{cm}$ und $b=8\,\mathrm{cm}$.
$$c^2=(6\,\mathrm{cm})^2+(8\,\mathrm{cm})^2$$
$$c^2=36\,\mathrm{cm}^2+64\,\mathrm{cm}^2=100\,\mathrm{cm}^2$$
$$c=\sqrt{100\,\mathrm{cm}^2}=10\,\mathrm{cm}$$
Die Hypotenuse ist $10\,\mathrm{cm}$ lang. Das ist plausibel, denn sie ist länger als jede der beiden Katheten.
Beim Quadrieren wird aus einer Längeneinheit eine Flächeneinheit: $(6\,\mathrm{cm})^2=36\,\mathrm{cm}^2$. Durch das Wurzelziehen erhältst du wieder eine Länge.
Berechne nicht $(6+8)^2$. Der Satz verlangt $6^2+8^2$: Erst wird jede Kathete einzeln quadriert, dann werden die Ergebnisse addiert.
Eine Kathete berechnen
Sind die Hypotenuse und eine Kathete bekannt, ziehst du das Quadrat der bekannten Kathete vom Hypotenusenquadrat ab. Danach ziehst du die Quadratwurzel:
$$\text{gesuchte Kathete}=\sqrt{\text{Hypotenuse}^2-\text{bekannte Kathete}^2}$$
Gegeben sind die Hypotenuse $c=10\,\mathrm{cm}$ und die Kathete $b=8\,\mathrm{cm}$. Gesucht ist $a$.
$$a^2+b^2=c^2$$
$$a^2+(8\,\mathrm{cm})^2=(10\,\mathrm{cm})^2$$
$$a^2=100\,\mathrm{cm}^2-64\,\mathrm{cm}^2=36\,\mathrm{cm}^2$$
$$a=\sqrt{36\,\mathrm{cm}^2}=6\,\mathrm{cm}$$
Die fehlende Kathete ist $6\,\mathrm{cm}$ lang. Sie ist kürzer als die Hypotenuse; das Ergebnis passt zur Seitenrolle.
Gesuchte Hypotenuse: Quadrate addieren. Gesuchte Kathete: vom Hypotenusenquadrat subtrahieren. Am Ende immer die Quadratwurzel ziehen.
Sachaufgaben in ein Dreieck übersetzen
Bei einer Sachaufgabe rechnest du nicht sofort. Übersetze zuerst die Situation:
- Finde zwei Strecken, die einen rechten Winkel bilden.
- Bestimme die Seite gegenüber diesem Winkel als Hypotenuse.
- Markiere die gesuchte Seite.
- Entscheide zwischen Addition und Subtraktion.
- Rechne und prüfe Einheit sowie Plausibilität.
Eine $6{,}50\,\mathrm{m}$ lange Leiter lehnt an einer Wand. Sie erreicht eine Höhe von $4{,}80\,\mathrm{m}$. Wie weit steht ihr Fuß von der Wand entfernt?
Wand und Boden bilden den rechten Winkel. Die Leiter liegt gegenüber und ist deshalb die Hypotenuse. Der Abstand zur Wand ist eine Kathete.
$$a^2=(6{,}50\,\mathrm{m})^2-(4{,}80\,\mathrm{m})^2$$
$$a^2=42{,}25\,\mathrm{m}^2-23{,}04\,\mathrm{m}^2=19{,}21\,\mathrm{m}^2$$
$$a=\sqrt{19{,}21\,\mathrm{m}^2}\approx4{,}38\,\mathrm{m}$$
Der Leiterfuß steht etwa $4{,}38\,\mathrm{m}$ von der Wand entfernt. Das Ergebnis ist plausibel, weil die Kathete kürzer als die $6{,}50\,\mathrm{m}$ lange Hypotenuse ist.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kathete und Hypotenuse
- rechter Winkel: bestimmt die Seitenrollen
- Hypotenuse: liegt gegenüber und ihr Quadrat steht allein
- Katheten: treffen sich am rechten Winkel
- Hypotenuse gesucht: Quadrate addieren, dann Wurzel
- Kathete gesucht: Quadrate subtrahieren, dann Wurzel
- Ergebnis prüfen: Einheit und Seitenlängen vergleichen
Abschluss-Check
Wenn du zuerst den rechten Winkel und die Seitenrollen bestimmst, ergibt sich die Rechenart zuverlässig: Hypotenuse gesucht bedeutet Addition, Kathete gesucht bedeutet Subtraktion.