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Kathetensatz: Formel, Zuordnung und Aufgaben
Der Kathetensatz verbindet in einem rechtwinkligen Dreieck eine Kathete mit der ganzen Hypotenuse und ihrem zugehörigen Hypotenusenabschnitt. Es gilt: $a^2=p\cdot c$ und $b^2=q\cdot c$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Wann gilt der Kathetensatz?
Der Kathetensatz gilt nur in einem rechtwinkligen Dreieck.
- Die Seiten $a$ und $b$ schließen den rechten Winkel ein. Sie heißen Katheten.
- Die gegenüberliegende und längste Seite $c$ heißt Hypotenuse.
- Die Höhe vom rechten Winkel teilt $c$ in die Abschnitte $p$ und $q$.
- Dabei gehört $p$ zur Kathete $a$ und $q$ zur Kathete $b$.
- Zusammen bilden beide Abschnitte die Hypotenuse: $c=p+q$.
Kathetensatz
Das Quadrat einer Kathete ist gleich dem Produkt aus der ganzen Hypotenuse und dem Hypotenusenabschnitt, der zu dieser Kathete gehört:
$$a^2=p\cdot c$$
$$b^2=q\cdot c$$
Erst die Kathete wählen, dann den zugehörigen Abschnitt einsetzen: $a$ gehört zu $p$, $b$ gehört zu $q$. In beiden Formeln steht die ganze Hypotenuse $c$.
So gehst du Schritt für Schritt vor
Wenn eine Kathete gesucht ist, kannst du immer nach demselben Muster arbeiten:
- Prüfe, ob das Dreieck rechtwinklig ist.
- Ordne den Abschnitt zu: $p\to a$ oder $q\to b$.
- Berechne einen fehlenden Abschnitt bei Bedarf mit $q=c-p$ oder $p=c-q$.
- Setze in $a^2=p\cdot c$ oder $b^2=q\cdot c$ ein.
- Ziehe die positive Quadratwurzel, weil eine Seitenlänge nicht negativ ist.
- Ergänze die Längeneinheit und prüfe die Größenordnung.
Das Produkt zweier Längen hat eine Flächeneinheit, zum Beispiel $\mathrm{cm}^2$. Durch das Wurzelziehen erhältst du wieder eine Länge in $\mathrm{cm}$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für die Kathete $a$ verwendest du den Abschnitt . Für die Kathete $b$ verwendest du . Fehlt $q$, berechnest du ihn mit .
Beide Katheten vollständig berechnen
Gegeben sind $c=6\,\mathrm{cm}$, $p=2\,\mathrm{cm}$ und $q=4\,\mathrm{cm}$. Gesucht sind $a$ und $b$.
1. Kathete $a$ berechnen
$p$ gehört zu $a$. Deshalb gilt:
$$a^2=p\cdot c$$
$$a^2=2\,\mathrm{cm}\cdot6\,\mathrm{cm}=12\,\mathrm{cm}^2$$
Da eine Länge positiv ist:
$$a=\sqrt{12}\,\mathrm{cm}=2\sqrt{3}\,\mathrm{cm}$$
2. Kathete $b$ berechnen
$q$ gehört zu $b$. Deshalb gilt:
$$b^2=q\cdot c$$
$$b^2=4\,\mathrm{cm}\cdot6\,\mathrm{cm}=24\,\mathrm{cm}^2$$
Also:
$$b=\sqrt{24}\,\mathrm{cm}=2\sqrt{6}\,\mathrm{cm}$$
Plausibilitätsprüfung: Beide Katheten sind kürzer als die Hypotenuse mit $6\,\mathrm{cm}$. Das passt zu einem rechtwinkligen Dreieck.
Eine unzugängliche Strecke bestimmen
Der Kathetensatz kann auch helfen, wenn nicht die Kathete, sondern die Hypotenuse oder einer ihrer Abschnitte gesucht ist.
Bei einer Vermessung entsteht ein rechtwinkliges Dreieck. Gemessen werden die Kathete $b=16\,\mathrm{m}$ und ihr zugehöriger Hypotenusenabschnitt $q=8\,\mathrm{m}$. Der andere Abschnitt $p$ entspricht der gesuchten Breite.
Aus $b^2=q\cdot c$ folgt durch Teilen durch $q$:
$$c=\frac{b^2}{q}$$
Einsetzen:
$$c=\frac{(16\,\mathrm{m})^2}{8\,\mathrm{m}}=32\,\mathrm{m}$$
Nun gilt $c=p+q$. Deshalb:
$$p=c-q=32\,\mathrm{m}-8\,\mathrm{m}=24\,\mathrm{m}$$
Die gesuchte Strecke ist $24\,\mathrm{m}$ breit.
Typische Fehler erkennen
Abschnitt und Kathete werden vertauscht
$p$ gehört zu $a$, $q$ gehört zu $b$. Markiere diese Paare vor dem Einsetzen in einer Skizze oder in den gegebenen Angaben.
Ein Abschnitt wird für die ganze Hypotenuse gehalten
$c$ ist die gesamte Hypotenuse. Deshalb gilt $c=p+q$ und nicht $c=p$ oder $c=q$.
Die Wurzel fehlt
Aus $a^2=12\,\mathrm{cm}^2$ folgt nicht $a=12\,\mathrm{cm}$. Richtig ist $a=\sqrt{12}\,\mathrm{cm}$.
Der Satz wird im falschen Dreieck benutzt
Ohne rechten Winkel darfst du den Kathetensatz nicht anwenden. Sind nur zwei Seiten des rechtwinkligen Dreiecks gegeben, aber keine Hypotenusenabschnitte, ist häufig der Satz des Pythagoras der direktere Weg.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Kathetensatz
- Voraussetzung: rechtwinkliges Dreieck
- Größen: Katheten $a,b$ und Hypotenuse $c$
- Abschnitte: $p$ gehört zu $a$, $q$ gehört zu $b$
- Formeln: $a^2=p\cdot c$ und $b^2=q\cdot c$
- Ergänzung: $c=p+q$
- Vorgehen: zuordnen, einsetzen, umformen, prüfen
- Kontrolle: Einheit und Größenordnung beachten