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In einem rechtwinkligen Dreieck hängen die Seiten enger zusammen, als es auf den ersten Blick aussieht. Danach kannst du mit dem Kathetensatz fehlende Kathetenabschnitte oder Katheten berechnen und die Größen richtig zuordnen.
- Ich kann Hypotenuse, Kathete und Hypotenusenabschnitt unterscheiden.
- Ich kann den Kathetensatz in Formeln schreiben.
- Ich kann fehlende Längen mit dem Kathetensatz berechnen.
- Ich kann prüfen, ob der Satz überhaupt anwendbar ist.
Die Figur verstehen
Der Kathetensatz gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. Die Höhe auf die Hypotenuse teilt die Hypotenuse in zwei Abschnitte.
Kathetensatz
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt: Das Quadrat einer Kathete ist so groß wie das Produkt aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt. Mit üblicher Bezeichnung: \(a^2 = c \cdot p\) und \(b^2 = c \cdot q\).
Die Hypotenuse ist \(c=25\,cm\). Zur Kathete \(a\) gehört der Abschnitt \(p=9\,cm\).
\(a^2 = c \cdot p = 25 \cdot 9 = 225\). \(a = \sqrt{225} = 15\).
Die Kathete \(a\) ist \(15\,cm\) lang.
Kathete und Hypotenusenabschnitt müssen zusammengehören: \(a\) gehört zu \(p\), \(b\) gehört zu \(q\).
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Fehlenden Abschnitt berechnen
Manchmal ist die Kathete gegeben und du suchst den Abschnitt. Dann stellst du die Formel um.
Gegeben sind \(a=12\,cm\) und \(c=18\,cm\). Gesucht ist \(p\).
\(a^2 = c \cdot p\). \(144 = 18p\). \(p = 8\).
Der Hypotenusenabschnitt \(p\) ist \(8\,cm\) lang.
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Prüfungsmodus
Die häufigste Falle ist eine falsche Zuordnung der Abschnitte. Skizziere deshalb zuerst und beschrifte sauber.
\(c=20\,cm\), \(p=5\,cm\), \(q=15\,cm\).
\(a^2=20\cdot5=100\), also \(a=10\,cm\). \(b^2=20\cdot15=300\), also \(b=\sqrt{300}=10\sqrt{3}\,cm\).
Probe über Pythagoras: \(a^2+b^2=100+300=400=c^2\).
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Alles auf einen Blick
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Zusammenfassung
Der Kathetensatz verbindet jede Kathete mit der Hypotenuse und dem passenden Hypotenusenabschnitt. Du nutzt ihn nur im rechtwinkligen Dreieck und ziehst bei gesuchter Kathete am Ende die Wurzel.