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Wenn in einem rechtwinkligen Dreieck eine Seitenlänge fehlt, ist der Satz des Pythagoras oft der direkte Weg. Er verbindet die drei Seiten über Quadrate.
- Ich kann Hypotenuse und Katheten erkennen.
- Ich kann den Satz $a^2+b^2=c^2$ anwenden.
- Ich kann prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.
- Ich kann typische Fehler erkennen und mein Ergebnis prüfen.
Grundidee
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die längste Seite die Hypotenuse. Die beiden kürzeren Seiten heißen Katheten.
Satz des Pythagoras
In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: Kathete zum Quadrat plus Kathete zum Quadrat ist Hypotenuse zum Quadrat, also \(a^2+b^2=c^2\).
Bei Katheten 3 cm und 4 cm gilt \(c^2=9+16=25\), also \(c=5\) cm.
Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel.
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Vorgehen Schritt für Schritt
Markiere zuerst den rechten Winkel und die Hypotenuse. Entscheide dann, ob du die Hypotenuse oder eine Kathete suchst.
Gesucht ist eine Kathete. Hypotenuse \(13\) cm, andere Kathete \(5\) cm. \(x^2+5^2=13^2\), also \(x^2+25=169\). Damit \(x^2=144\) und \(x=12\) cm. Probe: \(12^2+5^2=144+25=169\).
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Typische Fehler und Prüfungsmodus
In Prüfungen ist oft nicht die Hypotenuse gesucht. Dann musst du subtrahieren, bevor du die Wurzel ziehst.
Mit der Umkehrung kannst du prüfen: Wenn \(a^2+b^2=c^2\) für die längste Seite \(c\) gilt, ist das Dreieck rechtwinklig.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke. Er hilft dir beim Berechnen fehlender Seiten und beim Prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.