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Satz des Pythagoras: Aufgaben einfach lösen
Im rechtwinkligen Dreieck verbindet der Satz des Pythagoras die drei Seiten: Die Quadrate der beiden Katheten sind zusammen so groß wie das Quadrat der Hypotenuse. Kurz: $a^2+b^2=c^2$.
Du lernst, die Seiten sicher zuzuordnen, eine fehlende Länge zu berechnen und mit drei gegebenen Seiten einen rechten Winkel zu prüfen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Erst die Seiten richtig zuordnen
Bevor du rechnest, suche den 90°-Winkel. Nur wenn das Dreieck rechtwinklig ist, darfst du den Satz des Pythagoras anwenden.
Katheten und Hypotenuse
Die beiden Seiten, die sich am rechten Winkel treffen, heißen Katheten. Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse. Sie ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks.
Die Buchstaben sind nicht entscheidend. Heißen die Katheten $y$ und $z$ und die Hypotenuse $x$, dann gilt ebenso $y^2+z^2=x^2$. Entscheidend ist die Lage zum rechten Winkel, nicht die Lage auf dem Blatt.
Die Formel hat auch eine Flächenbedeutung: Über jeder Dreiecksseite kannst du dir ein Quadrat vorstellen. Seine Fläche ist Seitenlänge mal Seitenlänge. Deshalb stehen $a^2$, $b^2$ und $c^2$ für Quadratflächen. Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
$$a^2+b^2=c^2$$
Die beiden Kathetenquadrate haben zusammen denselben Flächeninhalt wie das Hypotenusenquadrat.
Die Hypotenuse liegt gegenüber dem rechten Winkel und steht in der Pythagoras-Gleichung allein.
Die Hypotenuse berechnen
Sind beide Katheten bekannt, wird addiert. Aus $a^2+b^2=c^2$ folgt für die positive Seitenlänge:
$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$
Die negative Wurzel kommt nicht infrage, weil eine Seitenlänge positiv ist.
Gegeben sind $a=6\,\text{cm}$ und $b=8\,\text{cm}$. Gesucht ist die Hypotenuse $c$.
- Beide Katheten quadrieren: $6^2=36$ und $8^2=64$.
- Die Quadrate addieren: $c^2=36+64=100$.
- Die positive Wurzel ziehen: $c=\sqrt{100}=10$.
Also ist die Hypotenuse $10\,\text{cm}$ lang. Das ist plausibel: Sie ist länger als jede Kathete.
Beim Quadrieren einer Länge wird auch die Einheit quadriert: $(6\,\text{cm})^2=36\,\text{cm}^2$. Nach dem Wurzelziehen erhältst du wieder eine Längeneinheit. Du darfst die Einheiten in einer übersichtlichen Zwischenrechnung weglassen, musst sie aber im Ergebnis richtig ergänzen.
Hypotenuse gesucht: quadrieren, addieren, Wurzel ziehen.
Eine Kathete berechnen
Ist die Hypotenuse und eine Kathete bekannt, musst du subtrahieren. Aus $a^2+b^2=c^2$ folgt für die positive Seitenlänge:
$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$
Entsprechend gilt $b=\sqrt{c^2-a^2}$.
Gegeben sind die Hypotenuse $c=10\,\text{cm}$ und die Kathete $b=8\,\text{cm}$. Gesucht ist $a$.
- Werte einsetzen: $a^2+8^2=10^2$.
- Das bekannte Kathetenquadrat abziehen: $a^2=100-64=36$.
- Die positive Wurzel ziehen: $a=\sqrt{36}=6$.
Die gesuchte Kathete ist $6\,\text{cm}$ lang. Sie ist kürzer als die Hypotenuse; das Ergebnis passt zur Figur.
Ein häufiger Fehler ist $6^2+8^2=(6+8)^2$. Das ist falsch: $6^2+8^2=36+64=100$, aber $(6+8)^2=14^2=196$. Quadriere deshalb jede Länge einzeln.
Kathete gesucht: Hypotenusenquadrat minus bekanntes Kathetenquadrat, dann Wurzel ziehen.
Rechtwinkligkeit mit der Umkehrung prüfen
Sind alle drei Seiten bekannt, kannst du testen, ob das Dreieck rechtwinklig ist. Nimm dafür die längste Seite als mögliche Hypotenuse $c$. Prüfe dann, ob die Quadrate der beiden kleineren Seiten zusammen genau $c^2$ ergeben.
Ein Dreieck hat die Seitenlängen $5\,\text{cm}$, $12\,\text{cm}$ und $13\,\text{cm}$.
Die längste Seite ist $13\,\text{cm}$, also wird sie als mögliche Hypotenuse geprüft:
$$5^2+12^2=25+144=169$$
Außerdem ist $13^2=169$. Beide Seiten der Gleichung sind gleich. Das Dreieck ist daher rechtwinklig. Der rechte Winkel liegt gegenüber der Seite mit $13\,\text{cm}$.
Sind die Werte nicht gleich, ist das Dreieck nicht rechtwinklig. Du darfst nicht einfach eine beliebige Seite allein auf die rechte Seite der Gleichung setzen.
Den Satz in Sachsituationen anwenden
In einer Sachaufgabe ist das Dreieck oft nicht eingezeichnet. Suche zwei Strecken, die senkrecht aufeinanderstehen. Ordne dann die schräge Strecke gegenüber dem rechten Winkel als Hypotenuse zu.
Eine $6{,}50\,\text{m}$ lange Leiter reicht bis zu einem Fenster in $4{,}80\,\text{m}$ Höhe. Wand und Boden bilden den rechten Winkel. Die Leiter ist die Hypotenuse, die Höhe eine Kathete. Gesucht ist der Abstand $a$ des Leiterfußes von der Wand.
$$a^2=6{,}50^2-4{,}80^2$$
$$a^2=42{,}25-23{,}04=19{,}21$$
$$a=\sqrt{19{,}21}\approx4{,}38$$
Der Leiterfuß ist in diesem geometrischen Modell etwa $4{,}38\,\text{m}$ von der Wand entfernt.
Dasselbe Prinzip bestimmt einen Punktabstand im Koordinatensystem. Für $A(1\mid2)$ und $C(5\mid5)$ sind die waagerechte und senkrechte Differenz $4$ und $3$. Sie bilden die Katheten eines rechtwinkligen Hilfsdreiecks:
$$d=\sqrt{4^2+3^2}=5$$
Der Abstand beträgt $5$ Längeneinheiten.
Gehe bei jeder Anwendung so vor:
- Rechten Winkel erkennen oder nachweisen.
- Hypotenuse und Katheten bestimmen.
- Bekannte und gesuchte Längen zuordnen.
- Addieren, wenn die Hypotenuse gesucht ist; subtrahieren, wenn eine Kathete gesucht ist.
- Wurzel ziehen, Einheit notieren und Plausibilität prüfen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Satz des Pythagoras
- Voraussetzung: rechter Winkel
- Seiten: zwei Katheten und eine Hypotenuse
- Flächenidee: Kathetenquadrate ergeben Hypotenusenquadrat
- Berechnen: bei Hypotenuse addieren, bei Kathete subtrahieren
- Prüfen: längste Seite für die Umkehrung wählen
- Anwenden: Sachsituation als rechtwinkliges Dreieck modellieren
Abschluss-Check
Wenn du alle drei Fragen begründen kannst, beherrschst du den Kern: richtigen Winkel erkennen, Seiten zuordnen, passend rechnen und das Ergebnis prüfen.