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Die Raumdiagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken eines Körpers. Bei Quadern und Würfeln findest du sie mit Pythagoras in zwei Schritten.
Was du nach dieser Seite kannst
- Ich kann die Raumdiagonale eines Quaders erkennen.
- Ich kann Flächendiagonale und Raumdiagonale unterscheiden.
- Ich kann die Formel herleiten.
- Ich kann Raumdiagonalen berechnen.
- Ich kann Ergebnisse auf Plausibilität prüfen.
Diagonal durch den Körper
Eine Flächendiagonale liegt in einer Seitenfläche. Eine Raumdiagonale läuft durch das Innere des Körpers von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke.
Raumdiagonale
Die Raumdiagonale eines Quaders mit Kanten \(a\), \(b\) und \(c\) hat die Länge \(d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).
Ein Quader hat \(a=3\) cm, \(b=4\) cm und \(c=12\) cm.
\(d=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13\) cm.
Die Raumdiagonale ist immer länger als jede einzelne Kante.
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Herleitung mit Pythagoras
Zuerst berechnest du die Diagonale der Grundfläche. Danach bildet diese mit der Höhe wieder ein rechtwinkliges Dreieck.
Für einen Würfel mit Kantenlänge \(5\) cm gilt:
\(d=\sqrt{5^2+5^2+5^2}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}\) cm.
Das sind ungefähr \(8{,}66\) cm.
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Prüfungsmodus
Prüfe, ob nach Flächendiagonale oder Raumdiagonale gefragt ist. Viele Aufgaben geben beide Begriffe nah beieinander an.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Die Raumdiagonale ist die längste direkte Verbindung zwischen gegenüberliegenden Ecken eines Quaders. Mit Pythagoras in drei Raumrichtungen erhältst du \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).