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Raumdiagonale im Quader berechnen
Die Raumdiagonale verbindet zwei gegenüberliegende Eckpunkte eines Quaders. Bei den Kantenlängen $a$, $b$ und $c$ berechnest du ihre Länge mit
$$d_R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$$
Dahinter steckt eine zweimalige Anwendung des Satzes des Pythagoras: zuerst auf einer Rechtecksfläche und danach im Raum.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du eine Raumdiagonale?
Stell dir einen geschlossenen quaderförmigen Karton vor. Eine Strecke von einer unteren Ecke zur gegenüberliegenden oberen Ecke verläuft durch das Innere des Kartons. Diese Strecke ist eine Raumdiagonale.
Raumdiagonale
Eine Raumdiagonale verbindet zwei gegenüberliegende, am weitesten voneinander entfernte Eckpunkte eines räumlichen Körpers. Beim Quader liegen diese Eckpunkte nicht auf derselben Seitenfläche.
Ein Quader besitzt vier Raumdiagonalen. Sie sind alle gleich lang und werden mit $d_R$ bezeichnet.
Eine Flächendiagonale liegt dagegen vollständig in einer rechteckigen Seitenfläche. Sie verbindet zwei gegenüberliegende Ecken dieses Rechtecks.
Eine Flächendiagonale bleibt auf einer Fläche. Eine Raumdiagonale verbindet gegenüberliegende Ecken durch das Innere des Quaders.
Warum gilt die Formel?
Für den Satz des Pythagoras brauchst du ein rechtwinkliges Dreieck. In einem solchen Dreieck gilt:
$$\text{Hypotenuse}^2=\text{Kathete}_1^2+\text{Kathete}_2^2.$$
Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden Seiten am rechten Winkel heißen Katheten.
Betrachte zuerst eine Rechtecksfläche mit den Seitenlängen $a$ und $b$. Ihre Flächendiagonale $d_F$ ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks:
$$d_F^2=a^2+b^2$$
und damit
$$d_F=\sqrt{a^2+b^2}.$$
Nun bilden die Flächendiagonale $d_F$ und die dritte Quaderkante $c$ die Katheten eines zweiten rechtwinkligen Dreiecks. Dessen Hypotenuse ist die Raumdiagonale:
$$d_R^2=d_F^2+c^2.$$
Setzt du $d_F^2=a^2+b^2$ ein, erhältst du:
$$d_R^2=a^2+b^2+c^2$$
und schließlich
$$d_R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$$
In der Formel stehen alle drei zueinander senkrechten Kantenlängen des Quaders. Zwei bestimmen eine Flächendiagonale; die dritte führt zur Raumdiagonale.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Zuerst berechnest du aus zwei Kanten eine . Im zweiten rechtwinkligen Dreieck ist die Raumdiagonale die . Deshalb stehen unter der Wurzel die Quadrate von Kantenlängen.
Wie sieht eine vollständige Rechnung aus?
Ein Quader ist $3\,\text{cm}$ lang, $4\,\text{cm}$ breit und $12\,\text{cm}$ hoch. Gesucht ist seine Raumdiagonale.
1. Zusammenhang bestimmen
Die drei Kanten stehen paarweise senkrecht aufeinander. Deshalb lässt sich der Satz des Pythagoras zweimal anwenden.
2. Flächendiagonale berechnen
$$d_F=\sqrt{(3\,\text{cm})^2+(4\,\text{cm})^2}$$
$$d_F=\sqrt{9+16}\,\text{cm}=5\,\text{cm}$$
3. Raumdiagonale berechnen
$$d_R=\sqrt{(5\,\text{cm})^2+(12\,\text{cm})^2}$$
$$d_R=\sqrt{25+144}\,\text{cm}=13\,\text{cm}$$
Direkt mit der Gesamtformel ergibt sich dasselbe Ergebnis:
$$d_R=\sqrt{3^2+4^2+12^2}\,\text{cm}=13\,\text{cm}.$$
Antwort: Die Raumdiagonale ist $13\,\text{cm}$ lang.
Die Einheit des Ergebnisses ist wieder eine Längeneinheit. Außerdem muss die Raumdiagonale länger als jede einzelne Kante sein. $13\,\text{cm}$ ist tatsächlich länger als $3\,\text{cm}$, $4\,\text{cm}$ und $12\,\text{cm}$.
Welche Fehler solltest du vermeiden?
Nur zwei Kanten verwenden
Mit $\sqrt{a^2+b^2}$ berechnest du nur eine Flächendiagonale. Für die Raumdiagonale brauchst du auch die dritte Kante $c$.
Kantenlängen einfach addieren
$a+b+c$ beschreibt einen Weg entlang dreier Kanten. Die Raumdiagonale ist eine direkte Strecke zwischen zwei Eckpunkten und wird deshalb nicht durch bloßes Addieren bestimmt.
Die Wurzel vergessen
$a^2+b^2+c^2$ ist das Quadrat der Raumdiagonale. Erst die Quadratwurzel liefert die gesuchte Länge.
Das Ergebnis nicht prüfen
Die Raumdiagonale ist die Hypotenuse des zweiten rechtwinkligen Dreiecks. Sie muss daher länger als jede beteiligte Kathete und somit länger als jede einzelne Quaderkante sein.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Raumdiagonale des Quaders
- verbindet gegenüberliegende Eckpunkte
- unterscheidet sich von einer Flächendiagonale
- entsteht durch zweimaligen Satz des Pythagoras
- verwendet die drei Kantenlängen $a$, $b$ und $c$
- hat die Formel $d_R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
- ist länger als jede einzelne Kante
- kommt im Quader viermal mit gleicher Länge vor
Abschluss-Check
Du beherrschst den Kernweg, wenn du eine Raumdiagonale erkennst, die Formel aus zwei rechtwinkligen Dreiecken erklären und das Ergebnis mit Einheit und Plausibilitätsprüfung angeben kannst.