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Quader: Eigenschaften, Oberfläche und Volumen
Ein Quader ist ein räumlicher Körper mit sechs rechteckigen Flächen. Gegenüberliegende Flächen sind jeweils gleich groß. Mit den drei Kantenlängen kannst du seine Oberfläche und sein Volumen berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Den Quader erkennen
Stell dir ein Paket, ein Buch oder einen Koffer vor. Solche Gegenstände haben häufig die Form eines Quaders.
Quader
Ein Quader ist ein geometrischer Körper mit 6 rechteckigen Flächen, 12 Kanten und 8 Ecken. Je zwei gegenüberliegende Flächen sind gleich groß.
Die Kanten verlaufen in drei Richtungen. Ihre Längen werden häufig mit $a$, $b$ und $c$ bezeichnet. Sie können auch Länge, Breite und Höhe heißen.
Ein Würfel ist ein besonderer Quader: Bei ihm sind alle Kanten gleich lang. Seine sechs Flächen sind deshalb Quadrate. Nicht jeder Quader ist ein Würfel.
Quader: sechs Rechtecke als Flächen. Würfel: besonderer Quader mit gleich langen Kanten.
Die Oberfläche berechnen
Die Oberfläche besteht aus allen sechs Außenflächen. Bei einer Verpackung beschreibt ihr Flächeninhalt zum Beispiel, wie viel Material für die Außenseiten benötigt wird.
Die sechs Flächen bilden drei Paare:
- zweimal ein Rechteck mit dem Flächeninhalt $a\cdot b$,
- zweimal ein Rechteck mit dem Flächeninhalt $a\cdot c$,
- zweimal ein Rechteck mit dem Flächeninhalt $b\cdot c$.
Daraus folgt:
$$O=2ab+2ac+2bc$$
Gleichwertig ist:
$$O=2(ab+ac+bc)$$
In Worten: Berechne die drei verschiedenen Rechteckflächen, addiere sie und verdopple die Summe.
Ein Quader hat die Kantenlängen $a=5\,\mathrm{cm}$, $b=3\,\mathrm{cm}$ und $c=2\,\mathrm{cm}$.
Zuerst berechnest du die drei unterschiedlichen Rechteckflächen:
$$a\cdot b=5\,\mathrm{cm}\cdot3\,\mathrm{cm}=15\,\mathrm{cm^2}$$
$$a\cdot c=5\,\mathrm{cm}\cdot2\,\mathrm{cm}=10\,\mathrm{cm^2}$$
$$b\cdot c=3\,\mathrm{cm}\cdot2\,\mathrm{cm}=6\,\mathrm{cm^2}$$
Jede dieser Flächen kommt zweimal vor:
$$O=2\cdot15+2\cdot10+2\cdot6=62\,\mathrm{cm^2}$$
Die Oberfläche beträgt $62\,\mathrm{cm^2}$. Die Einheit ist quadratisch, weil Flächen berechnet wurden.
Das Volumen berechnen
Das Volumen gibt an, wie viel Raum ein Körper einnimmt oder wie viel in ihn hineinpasst.
Du kannst dir den Quader als Stapel gleich großer Würfel vorstellen. Auf einer Schicht liegen so viele Würfel, wie auf die Grundfläche passen. Die Höhe bestimmt, wie viele solcher Schichten übereinanderliegen. Deshalb gilt das Prinzip Grundfläche mal Höhe.
Bei den drei Kantenlängen $a$, $b$ und $c$ lautet die Formel:
$$V=a\cdot b\cdot c$$
Für einen Quader mit $a=5\,\mathrm{cm}$, $b=3\,\mathrm{cm}$ und $c=2\,\mathrm{cm}$ gilt:
$$V=5\,\mathrm{cm}\cdot3\,\mathrm{cm}\cdot2\,\mathrm{cm}=30\,\mathrm{cm^3}$$
Das Volumen beträgt $30\,\mathrm{cm^3}$. Die Einheit ist kubisch, weil drei Längen miteinander multipliziert wurden.
Oberfläche bedeutet Außenflächen und hat eine Quadrateinheit wie $\mathrm{cm^2}$. Volumen bedeutet Rauminhalt und hat eine Kubikeinheit wie $\mathrm{cm^3}$.
Sachaufgaben mit Einheiten lösen
In einer Sachaufgabe darfst du nicht automatisch jede genannte Länge einsetzen. Prüfe zuerst, welche Maße den tatsächlich gefüllten oder gebauten Quader beschreiben.
Gehe in vier Schritten vor:
- Bestimme die gesuchte Größe: Oberfläche oder Volumen.
- Ermittle die benötigten Kantenlängen.
- Bringe alle Längen in dieselbe Einheit.
- Rechne, notiere die passende Einheit und prüfe das Ergebnis im Zusammenhang.
Ein Aquarium ist $1{,}20\,\mathrm{m}$ lang, $0{,}60\,\mathrm{m}$ breit und $0{,}70\,\mathrm{m}$ hoch. Das Wasser soll bis $20\,\mathrm{cm}$ unter den Rand reichen.
Zuerst wandelst du $20\,\mathrm{cm}$ in $0{,}20\,\mathrm{m}$ um. Die Wasserhöhe ist daher:
$$0{,}70\,\mathrm{m}-0{,}20\,\mathrm{m}=0{,}50\,\mathrm{m}$$
Nun berechnest du das Wasservolumen:
$$V=1{,}20\,\mathrm{m}\cdot0{,}60\,\mathrm{m}\cdot0{,}50\,\mathrm{m}=0{,}36\,\mathrm{m^3}$$
Es gilt $0{,}36\,\mathrm{m^3}=360\,\mathrm{dm^3}$ und $1\,\mathrm{dm^3}=1\,\mathrm{l}$. Deshalb werden $360\,\mathrm{l}$ Wasser benötigt.
Die volle Aquariumhöhe von $0{,}70\,\mathrm{m}$ einzusetzen wäre falsch, weil das Wasser unterhalb des Randes endet.
Netz und Schrägbild verstehen
Ein Quadernetz entsteht, wenn du einen Quader entlang ausgewählter Kanten aufschneidest und seine sechs Flächen zusammenhängend in die Ebene klappst. Im Netz erkennst du die drei Paare gleich großer Rechtecke. Genau diese Flächen werden bei der Oberflächenformel addiert.
Ein Schrägbild stellt den räumlichen Körper auf einer ebenen Zeichenfläche dar. Du zeichnest zuerst ein Rechteck als Vorderseite. Von seinen Ecken laufen Kanten nach hinten. Anschließend verbindest du deren Endpunkte zur Rückseite. Verdeckte Kanten werden gestrichelt dargestellt.
Netz und Schrägbild erfüllen unterschiedliche Aufgaben: Das Netz zeigt alle Außenflächen ausgebreitet. Das Schrägbild vermittelt einen räumlichen Eindruck des zusammengesetzten Körpers.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Quader
- Eigenschaften: 6 Flächen, 12 Kanten, 8 Ecken
- Sonderfall: Würfel mit gleich langen Kanten
- Oberfläche: drei Rechteckpaare, $O=2ab+2ac+2bc$
- Volumen: Grundfläche mal Höhe, $V=abc$
- Darstellungen: Netz zeigt Flächen, Schrägbild zeigt den Raumkörper
- Sachaufgaben: Maße prüfen, Einheiten angleichen, Ergebnis deuten
Abschluss-Check
Prüfe zum Schluss deine eigenen Antworten: Kannst du erklären, warum die Oberflächenformel drei verdoppelte Produkte enthält und warum beim Volumen drei Längen miteinander multipliziert werden? Dann hast du die beiden wichtigsten Rechenideen verstanden.