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Volumen eines Quaders berechnen und verstehen
Das Volumen gibt an, wie viel Raum ein Quader einnimmt oder wie viel in ihn hineinpasst. Du berechnest es, indem du Länge, Breite und Höhe in derselben Einheit miteinander multiplizierst:
$$V = a \cdot b \cdot c$$
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was misst das Volumen?
Stell dir einen Karton vor, den du lückenlos mit gleich großen Würfeln füllst. Die Anzahl dieser Einheitswürfel beschreibt den Rauminhalt des Kartons. Dieser Rauminhalt heißt Volumen und wird mit dem Formelzeichen $V$ bezeichnet.
Volumen
Das Volumen ist der Rauminhalt eines Körpers. Es wird in Kubikeinheiten wie $\mathrm{cm^3}$, $\mathrm{dm^3}$ oder $\mathrm{m^3}$ angegeben.
Ein Würfel mit einer Kantenlänge von $1\,\mathrm{cm}$ hat das Volumen $1\,\mathrm{cm^3}$. Ein Quader mit $120\,\mathrm{cm^3}$ bietet daher so viel Raum wie 120 solcher Einheitswürfel.
Fläche und Volumen sind nicht dasselbe: Eine Fläche misst du in Quadrateinheiten wie $\mathrm{cm^2}$. Ein Volumen misst du in Kubikeinheiten wie $\mathrm{cm^3}$.
Warum lautet die Formel Länge mal Breite mal Höhe?
Ein rechtwinkliger Quader hat sechs rechteckige Flächen. Für sein Volumen brauchst du drei senkrecht zueinander verlaufende Kantenlängen: Länge $a$, Breite $b$ und Höhe $c$.
Zuerst betrachtest du die rechteckige Grundfläche. Ihr Flächeninhalt ist:
$$G = a \cdot b$$
Drückst du alle Kanten in derselben Längeneinheit aus, geben ihre Maßzahlen an, wie viele Einheitswürfel in jede Richtung passen. Eine Schicht enthält das Produkt aus Länge und Breite. Die Anzahl der Schichten entspricht der Höhe. Deshalb gilt:
$$V = G \cdot c = a \cdot b \cdot c$$
Grundfläche mal Höhe: Für einen Quader gilt $V = G \cdot c = a \cdot b \cdot c$.
Ein Quader ist $8\,\mathrm{cm}$ lang, $5\,\mathrm{cm}$ breit und $3\,\mathrm{cm}$ hoch.
Eine einen Zentimeter hohe Schicht enthält $8 \cdot 5 = 40$ Einheitswürfel. Bei drei Schichten sind es:
$$V = 8\,\mathrm{cm} \cdot 5\,\mathrm{cm} \cdot 3\,\mathrm{cm} = 120\,\mathrm{cm^3}$$
Der Quader hat einen Rauminhalt von $120\,\mathrm{cm^3}$.
So berechnest du das Volumen sicher
Gehe in vier Schritten vor:
- Notiere Länge, Breite und Höhe mit ihren Einheiten.
- Wandle die Längen bei Bedarf in dieselbe Einheit um.
- Setze sie in $V = a \cdot b \cdot c$ ein und multipliziere.
- Schreibe das Ergebnis mit der passenden Kubikeinheit auf und prüfe, ob es plausibel ist.
Ein Karton ist $7\,\mathrm{cm}$ lang, $5\,\mathrm{cm}$ breit und $4\,\mathrm{cm}$ hoch.
Alle Angaben stehen bereits in Zentimetern. Deshalb kannst du sofort einsetzen:
$$V = 7\,\mathrm{cm} \cdot 5\,\mathrm{cm} \cdot 4\,\mathrm{cm}$$
$$V = 140\,\mathrm{cm^3}$$
Das Ergebnis ist ein Volumen und erhält deshalb nicht $\mathrm{cm}$ oder $\mathrm{cm^2}$, sondern $\mathrm{cm^3}$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für das Volumen eines Quaders werden Kantenlängen miteinander multipliziert. Vorher müssen sie in Längeneinheit umgewandelt werden. Das Ergebnis erhält eine .
Wie rechnest du Einheiten und Liter um?
Du darfst Längen mit unterschiedlichen Einheiten nicht direkt multiplizieren. Wandle zuerst jede Kante in dieselbe Längeneinheit um.
Ein Quader hat die Kantenlängen $2\,\mathrm{dm}$, $15\,\mathrm{cm}$ und $100\,\mathrm{mm}$.
In Zentimetern gilt:
- $2\,\mathrm{dm} = 20\,\mathrm{cm}$
- $15\,\mathrm{cm}$ bleibt unverändert
- $100\,\mathrm{mm} = 10\,\mathrm{cm}$
Nun darfst du multiplizieren:
$$V = 20\,\mathrm{cm} \cdot 15\,\mathrm{cm} \cdot 10\,\mathrm{cm} = 3000\,\mathrm{cm^3}$$
Da $1000\,\mathrm{cm^3} = 1\,\mathrm{dm^3}$ gilt, sind $3000\,\mathrm{cm^3} = 3\,\mathrm{dm^3}$.
Für Flüssigkeiten sind diese Beziehungen besonders nützlich:
- $1\,\mathrm{dm^3} = 1\,\mathrm{l}$
- $1\,\mathrm{cm^3} = 1\,\mathrm{ml}$
- $1\,\mathrm{m^3} = 1000\,\mathrm{l}$
Ein Wasserbehälter ist $0{,}8\,\mathrm{m}$ lang, $0{,}45\,\mathrm{m}$ breit und $1{,}5\,\mathrm{m}$ hoch.
$$V = 0{,}8\,\mathrm{m} \cdot 0{,}45\,\mathrm{m} \cdot 1{,}5\,\mathrm{m} = 0{,}54\,\mathrm{m^3}$$
Mit $1\,\mathrm{m^3} = 1000\,\mathrm{l}$ folgt:
$$0{,}54\,\mathrm{m^3} = 540\,\mathrm{l}$$
Der Behälter fasst rechnerisch $540$ Liter.
Wie bestimmst du eine fehlende Kante?
Kennst du das Volumen und zwei Kanten, stellst du die Volumenformel um. Teile das Volumen durch das Produkt der beiden bekannten Kanten.
Aus
$$V = a \cdot b \cdot c$$
folgt für die Höhe:
$$c = \frac{V}{a \cdot b}$$
Gegeben sind $V = 216\,\mathrm{cm^3}$, $a = 4\,\mathrm{cm}$ und $b = 6\,\mathrm{cm}$.
Zuerst berechnest du die Grundfläche:
$$G = 4\,\mathrm{cm} \cdot 6\,\mathrm{cm} = 24\,\mathrm{cm^2}$$
Dann teilst du das Volumen durch die Grundfläche:
$$c = \frac{216\,\mathrm{cm^3}}{24\,\mathrm{cm^2}} = 9\,\mathrm{cm}$$
Probe:
$$4\,\mathrm{cm} \cdot 6\,\mathrm{cm} \cdot 9\,\mathrm{cm} = 216\,\mathrm{cm^3}$$
Kennst du nur das Volumen und die Höhe, kannst du die Grundfläche bestimmen:
$$G = \frac{V}{c}$$
Aus einer bekannten Grundfläche lassen sich Länge und Breite jedoch nicht immer einzeln bestimmen. Für $G = 10\,\mathrm{m^2}$ wären zum Beispiel $2\,\mathrm{m} \cdot 5\,\mathrm{m}$ oder $1\,\mathrm{m} \cdot 10\,\mathrm{m}$ möglich.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Volumen eines Quaders
- Bedeutung
- Rauminhalt
- Anzahl von Einheitswürfeln
- Berechnung
- Grundfläche $G = a \cdot b$
- Volumen $V = G \cdot c$
- Quaderformel $V = a \cdot b \cdot c$
- Einheiten
- Längen zuerst vereinheitlichen
- Ergebnis in Kubikeinheiten
- $1\,\mathrm{dm^3} = 1\,\mathrm{l}$
- Rückwärtsrechnung
- Fehlende Kante durch Division
- Ergebnis durch Einsetzen prüfen
- Bedeutung
Abschluss-Check
Wenn du die drei Kanten zuerst auf dieselbe Einheit bringst, die Volumenformel richtig einsetzt und die Kubikeinheit prüfst, kannst du das Volumen eines Quaders sicher berechnen.