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Volumen berechnen: Würfel, Quader, Prisma, Zylinder
Das Volumen gibt an, wie viel dreidimensionalen Raum ein Körper einnimmt. Zum Berechnen erkennst du zuerst die Körperform, gleichst die Längeneinheiten an und setzt die Maße in die passende Formel ein.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Volumen beschreibt dreidimensionalen Raum
Eine Fläche besitzt Länge und Breite. Ein Körper hat zusätzlich eine Höhe und nimmt dadurch Raum ein.
Volumen
Das Volumen ist der Rauminhalt eines Körpers. Ein anderer Name dafür ist Kubikinhalt. Das Formelzeichen ist $V$.
Volumen wird in Kubikeinheiten angegeben, zum Beispiel in $\mathrm{mm}^3$, $\mathrm{cm}^3$, $\mathrm{dm}^3$ oder $\mathrm{m}^3$. Die Hochzahl 3 zeigt, dass drei räumliche Richtungen berücksichtigt werden.
Ein Quader ist $2\,\mathrm{cm}$ lang, $3\,\mathrm{cm}$ breit und $4\,\mathrm{cm}$ hoch. Beim Multiplizieren entstehen drei Zentimeterfaktoren:
$$2\,\mathrm{cm}\cdot 3\,\mathrm{cm}\cdot 4\,\mathrm{cm}=24\,\mathrm{cm}^3$$
Der Quader hat ein Volumen von $24\,\mathrm{cm}^3$.
In fünf Schritten sicher rechnen
Gehe bei jeder Volumenaufgabe in derselben Reihenfolge vor:
- Körper erkennen: Ist es ein Würfel, Quader, Prisma oder Zylinder?
- Maße zuordnen: Welche Angaben sind Seitenlängen, Radius, Grundfläche oder Körperhöhe?
- Einheiten angleichen: Alle benötigten Längen müssen in derselben Einheit stehen.
- Passende Formel einsetzen: Verwende nur die Formel für die erkannte Körperform.
- Ergebnis prüfen: Notiere eine Kubikeinheit und kontrolliere, ob das Ergebnis zum Körper passt.
Erst Körperform und Einheiten prüfen, dann rechnen. Eine richtig ausgeführte Rechnung mit der falschen Formel bleibt falsch.
Würfel und Quader berechnen
Beim Würfel sind alle Kanten gleich lang. Für die Kantenlänge $a$ gilt:
$$V=a^3$$
Das bedeutet $a^3=a\cdot a\cdot a$. Die häufige Verwechslung $a^2$ beschreibt nur eine quadratische Fläche, nicht den Rauminhalt.
Beim Quader können Länge $l$, Breite $b$ und Höhe $h$ verschieden sein:
$$V=l\cdot b\cdot h$$
Für einen Quader mit $l=2\,\mathrm{cm}$, $b=3\,\mathrm{cm}$ und $h=4\,\mathrm{cm}$ gilt:
$$V=2\,\mathrm{cm}\cdot3\,\mathrm{cm}\cdot4\,\mathrm{cm}=24\,\mathrm{cm}^3$$
Das Ergebnis ist plausibel: Drei Längen wurden multipliziert, deshalb steht die Einheit in der dritten Potenz.
Prisma und Zylinder folgen demselben Grundprinzip
Bei einem geraden Prisma wird zuerst der Inhalt seiner Grundfläche $G$ bestimmt. Anschließend wird diese Fläche mit der Körperhöhe $h$ multipliziert:
$$V=G\cdot h$$
Du kannst dir den Körper als Stapel gleich großer Grundflächen vorstellen. Die Körperhöhe beschreibt, wie hoch dieser Stapel ist.
Ein Zylinder folgt demselben Prinzip. Seine Grundfläche ist ein Kreis. Mit dem Radius $r$ besitzt dieser Kreis den Flächeninhalt $\pi r^2$. Daher gilt:
$$V=\pi\cdot r^2\cdot h$$
Ein Zylinder hat den Radius $r=2\,\mathrm{cm}$ und die Höhe $h=5\,\mathrm{cm}$.
Zuerst wird der Radius quadriert:
$$r^2=(2\,\mathrm{cm})^2=4\,\mathrm{cm}^2$$
Dann wird eingesetzt:
$$V=\pi\cdot4\,\mathrm{cm}^2\cdot5\,\mathrm{cm}=20\pi\,\mathrm{cm}^3$$
Das exakte Volumen beträgt $20\pi\,\mathrm{cm}^3$.
Bei Prisma und Zylinder gilt Grundfläche mal Körperhöhe. Beim Zylinder ist die Grundfläche ein Kreis mit $G=\pi r^2$.
Einheiten und Ergebnisse prüfen
Sind alle Längen in Zentimetern angegeben, erhältst du das Volumen in Kubikzentimetern. Bei Metern entsteht entsprechend Kubikmeter.
Für Flüssigkeiten ist der Liter besonders gebräuchlich. Es gilt:
$$1\,\mathrm{dm}^3=1\,\mathrm{L}$$
Ein quaderförmiges Gefäß ist innen $5\,\mathrm{dm}$ lang, $3\,\mathrm{dm}$ breit und $4\,\mathrm{dm}$ hoch.
$$V=5\cdot3\cdot4=60\,\mathrm{dm}^3$$
Da $1\,\mathrm{dm}^3=1\,\mathrm{L}$ gilt, entspricht das einem Volumen von $60\,\mathrm{L}$.
Prüfe dein Ergebnis mit drei Fragen:
- Passen Formel und Körperform zusammen?
- Wurden nur Größen mit passenden Einheiten verrechnet?
- Steht am Ergebnis eine Kubikeinheit oder die passende Literangabe?
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Volumen berechnen
- Bedeutung: dreidimensionaler Rauminhalt
- Vorbereitung: Körper erkennen und Einheiten angleichen
- Würfel: $V=a^3$
- Quader: $V=l\cdot b\cdot h$
- Prisma: $V=G\cdot h$
- Zylinder: $V=\pi r^2h$
- Prüfung: Formel, Einheit und Plausibilität kontrollieren
Abschluss-Check
Du kannst Volumen nun mit einem festen Ablauf bestimmen: Körper erkennen, Maße und Einheiten prüfen, die passende Formel anwenden und das Ergebnis als Rauminhalt kontrollieren.