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Eine Getränkedose, ein Glas und viele Rohre haben ungefähr die Form eines Zylinders. Wenn du wissen willst, wie viel hineinpasst, brauchst du das Volumen.
Hier lernst du, wie ein Zylinder aufgebaut ist, warum die Volumenformel funktioniert und wie du typische Aufgaben mit Radius, Durchmesser und Höhe löst.
- Ich kann Grundfläche, Radius und Höhe eines Zylinders benennen.
- Ich kann die Formel $V=\pi r^2 h$ erklären.
- Ich kann das Volumen eines Zylinders berechnen.
- Ich kann Durchmesser und Radius unterscheiden.
- Ich kann Einheiten wie $\text{cm}^3$ und Liter sinnvoll deuten.
Was ist ein Zylinder?
Ein Zylinder hat oben und unten zwei gleiche Kreise. Die gerade Verbindung zwischen den Kreisflächen ist die Höhe.
Zylinder
Ein Zylinder ist ein Körper mit zwei parallelen, gleich großen Kreisflächen und einer gekrümmten Mantelfläche.
Eine Dose hat unten einen Kreis und oben einen gleich großen Kreis.
Der Abstand zwischen diesen Kreisflächen ist die Höhe.
Deshalb kannst du die Dose als Zylinder modellieren.
Ein Zylinder ist wie ein Stapel aus sehr vielen gleichen Kreisscheiben.
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Die Volumenformel verstehen
Volumen bedeutet: Wie viel Raum nimmt ein Körper ein? Beim Zylinder rechnest du Grundfläche mal Höhe.
Volumen eines Zylinders
Das Volumen eines Zylinders ist \(V=G\cdot h\). Weil die Grundfläche ein Kreis ist, gilt \(G=\pi r^2\). Also: \(V=\pi r^2h\).
Ein Zylinder hat \(r=3\,\text{cm}\) und \(h=10\,\text{cm}\).
Grundfläche:
\(G=\pi\cdot3^2=9\pi\)
Volumen:
\(V=9\pi\cdot10=90\pi\)
\(V\approx282{,}74\,\text{cm}^3\)
Erst den Radius quadrieren, dann mit \(\pi\) und der Höhe multiplizieren.
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Radius oder Durchmesser?
Viele Aufgaben geben den Durchmesser an. Die Formel braucht aber den Radius.
Radius und Durchmesser
Der Radius \(r\) geht vom Mittelpunkt des Kreises zum Rand. Der Durchmesser \(d\) geht einmal ganz durch den Kreis. Es gilt \(d=2r\) und \(r=\frac d2\).
Ein Zylinder hat den Durchmesser \(8\,\text{cm}\) und die Höhe \(12\,\text{cm}\).
Zuerst:
\(r=\frac82=4\,\text{cm}\)
Dann:
\(V=\pi\cdot4^2\cdot12=192\pi\)
\(V\approx603{,}19\,\text{cm}^3\)
Wenn in der Aufgabe "Durchmesser" steht, halbiere zuerst. Sonst wird dein Volumen viermal zu groß.
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Einheiten und Liter
Volumen hat Kubikeinheiten. Wenn alle Längen in Zentimetern gegeben sind, ist das Ergebnis in Kubikzentimetern.
\(1\,\text{cm}^3\) entspricht \(1\,\text{ml}\). \(1000\,\text{cm}^3\) entsprechen \(1\,\text{l}\).
Ein Glas hat ungefähr \(300\,\text{cm}^3\) Volumen.
Das sind ungefähr \(300\,\text{ml}\).
Also passen etwa \(0{,}3\,\text{l}\) hinein.
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Prüfungsmodus: Aufgaben lesen
In Prüfungen musst du oft erst herausfinden, welche Größe gegeben ist und welche gesucht wird.
Gesucht ist die Höhe. Gegeben: \(V=150\pi\,\text{cm}^3\), \(r=5\,\text{cm}\).
\(V=\pi r^2h\)
\(150\pi=\pi\cdot25\cdot h\)
\(150=25h\)
\(h=6\)
Die Höhe beträgt \(6\,\text{cm}\).
Schreibe vor dem Rechnen: gegeben, gesucht, Formel. Das verhindert Radius-Durchmesser-Fehler.
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Alles auf einen Blick
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Abschluss-Check
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Zusammenfassung
Das Volumen eines Zylinders berechnest du mit \(V=\pi r^2h\). Die Kreisgrundfläche ist \(\pi r^2\), und die Höhe gibt an, wie weit diese Fläche gestapelt wird.
Achte besonders darauf, ob Radius oder Durchmesser gegeben ist, und gib Volumen immer in Kubikeinheiten an.