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Zylindervolumen berechnen: Formel und Beispiele
Das Volumen eines Zylinders berechnest du mit Grundfläche mal Höhe. Bei einer kreisförmigen Grundfläche gilt deshalb $V = π · r^2 · h$.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Warum gilt Grundfläche mal Höhe?
Stell dir den Zylinder als Stapel aus vielen gleich großen, sehr dünnen Kreisscheiben vor. Jede Scheibe hat dieselbe Grundfläche $G$. Die Höhe $h$ beschreibt, wie hoch dieser Stapel ist. Daher gilt:
$$V = G · h$$
Die Grundfläche eines Kreiszylinders ist ein Kreis mit dem Radius $r$:
$$G = π · r^2$$
Setzt du diese Kreisfläche in $V = G · h$ ein, erhältst du die Volumenformel:
$$V = π · r^2 · h$$
Volumen
Das Volumen ist der Rauminhalt eines Körpers. Es wird in Kubikeinheiten angegeben, zum Beispiel in $cm^3$, $dm^3$ oder $m^3$.
Beim Zylinder kommt das Quadrat nur beim Radius vor: $V = π · r^2 · h$. Die Höhe wird nicht quadriert.
So berechnest du das Volumen sicher
Du brauchst den Radius $r$ und die senkrechte Höhe $h$. Beide Längen müssen in derselben Einheit angegeben sein.
- Prüfe, ob ein Radius oder ein Durchmesser gegeben ist.
- Rechne bei einem Durchmesser zuerst $r = d : 2$.
- Berechne die Grundfläche $G = π · r^2$.
- Multipliziere die Grundfläche mit der Höhe.
- Gib das Ergebnis in einer passenden Kubikeinheit an.
Ein Zylinder hat den Radius $r = 3\,cm$ und die Höhe $h = 8\,cm$.
Zuerst bestimmst du die Grundfläche:
$$G = π · (3\,cm)^2 = 9π\,cm^2$$
Dann multiplizierst du mit der Höhe:
$$V = 9π\,cm^2 · 8\,cm = 72π\,cm^3$$
Der Zylinder hat das Volumen $72π\,cm^3$. Die Einheit ist kubisch, weil eine Fläche in $cm^2$ mit einer Länge in $cm$ multipliziert wurde.
Wenn der Durchmesser gegeben ist
Bei $d = 10\,cm$ ist der Radius nicht $10\,cm$, sondern
$$r = 10\,cm : 2 = 5\,cm$$
Für eine Höhe von $12\,cm$ folgt:
$$V = π · (5\,cm)^2 · 12\,cm = 300π\,cm^3$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Ein Zylinder mit dem Durchmesser $14\,cm$ hat den Radius . Vor dem Einsetzen wird der Radius . Das Volumen wird in angegeben.
So bestimmst du Höhe oder Radius
Manchmal sind das Volumen und nur eine der beiden Längen gegeben. Dann stellst du $V = π · r^2 · h$ nach der gesuchten Größe um.
Höhe berechnen
Teile das Volumen durch die Grundfläche:
$$h = \frac{V}{π · r^2}$$
Gegeben sind $V = 240π\,cm^3$ und $r = 4\,cm$.
$$h = \frac{240π\,cm^3}{π · (4\,cm)^2}$$
$$h = \frac{240π\,cm^3}{16π\,cm^2} = 15\,cm$$
Die Höhe beträgt $15\,cm$. Zur Einheitenkontrolle gilt $cm^3 : cm^2 = cm$.
Radius berechnen
Teile zuerst durch $π · h$. Danach ziehst du die positive Quadratwurzel:
$$r = \sqrt{\frac{V}{π · h}}$$
Nur die positive Lösung ist als Radius sinnvoll, weil eine Länge nicht negativ sein kann.
Bestimme vor dem Umstellen, welche Größe gesucht ist. Für die Höhe genügt eine Division. Für den Radius musst du zusätzlich die Quadratwurzel ziehen.
Vertiefung: besondere Zylinder
Hohlzylinder
Ein Rohr oder Trinkhalm enthält einen zylindrischen Hohlraum. Für das Materialvolumen ziehst du das innere Zylindervolumen vom äußeren ab.
Mit Außenradius $R$, Innenradius $r$ und Höhe $h$ gilt:
$$V = π · (R^2 - r^2) · h$$
Ein Rohr hat $R = 5\,cm$, $r = 3\,cm$ und $h = 10\,cm$.
$$V = π · ((5\,cm)^2 - (3\,cm)^2) · 10\,cm$$
$$V = π · (25 - 9)\,cm^2 · 10\,cm = 160π\,cm^3$$
Das Material des Rohrs hat das Volumen $160π\,cm^3$. Würdest du nur mit dem Außenradius rechnen, würdest du den Hohlraum fälschlich mitzählen.
Schräger Zylinder
Auch bei einem schrägen Zylinder gilt $V = π · r^2 · h$. Dabei ist $h$ immer der senkrechte Abstand zwischen den parallelen Grundflächen. Eine schräge Seitenkante darfst du nicht einfach als Höhe einsetzen.
Ist die Seitenlänge $s$ gegeben und ist $α$ der Winkel zwischen der Seitenkante und der Ebene der Grundfläche, dann gilt $h = s · \sin(α)$. Damit folgt:
$$V = π · r^2 · s · \sin(α)$$
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Zylindervolumen
- Grundidee: $V = G · h$
- Kreisgrundfläche: $G = π · r^2$
- Standardformel: $V = π · r^2 · h$
- Durchmesser: zuerst $r = d : 2$
- Umstellen: durch bekannte Faktoren teilen
- Hohlzylinder: Innenvolumen abziehen
- Schräger Zylinder: senkrechte Höhe verwenden
- Ergebniseinheit: Kubikeinheit
Abschluss-Check
Du kannst dein Ergebnis abschließend mit drei Fragen prüfen: Hast du bei einem Durchmesser zuerst halbiert? Sind alle Längen in derselben Einheit? Steht am Ergebnis eine Kubikeinheit?