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Oberfläche berechnen: Formeln und Beispiele
Der Oberflächeninhalt ist die Summe aller Flächen, die einen Körper von außen begrenzen. Du zerlegst den Körper in bekannte Flächen, berechnest deren Inhalte und addierst sie. Das Ergebnis gibst du in einer Quadrateinheit wie $cm^2$ oder $m^2$ an.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Was gehört zur Oberfläche?
Stell dir einen geschlossenen Schuhkarton vor, den du außen vollständig bemalst. Die gesamte bemalte Hülle ist seine Oberfläche. Auch die Unterseite gehört dazu, obwohl du sie aus einer Blickrichtung nicht siehst.
Oberflächeninhalt
Der Oberflächeninhalt $O$ gibt an, wie groß alle äußeren Begrenzungsflächen eines Körpers zusammen sind.
Ein Körpernetz zeigt die Oberfläche aufgeklappt in der Ebene. Dadurch kannst du leichter prüfen, welche Flächen vorkommen und welche davon gleich groß sind.
Oberfläche bedeutet Hülle, Volumen bedeutet Rauminhalt. Deshalb misst du die Oberfläche in Quadrateinheiten wie $cm^2$, das Volumen dagegen in Kubikeinheiten wie $cm^3$.
So gehst du bei jedem Körper vor
Mit diesem Ablauf kannst du auch Körper bearbeiten, für die du keine fertige Gesamtformel kennst:
- Bestimme alle äußeren Teilflächen.
- Benenne ihre Formen, zum Beispiel Rechteck, Quadrat, Dreieck oder Kreis.
- Gruppiere gleich große Flächen und notiere ihre Anzahl.
- Berechne jede unterschiedliche Teilfläche.
- Addiere alle Teilflächen mit ihrer jeweiligen Häufigkeit.
- Prüfe Einheit, Vollständigkeit und Plausibilität.
Ein Körper besitzt zwei gleich große Dreiecke mit je $6\,cm^2$ und drei Rechtecke mit zusammen $120\,cm^2$.
Zuerst berücksichtigst du beide Dreiecke:
$$2 · 6\,cm^2 = 12\,cm^2$$
Dann addierst du die Rechtecke:
$$O = 12\,cm^2 + 120\,cm^2 = 132\,cm^2$$
Der entscheidende Schritt ist das vollständige Zählen: Eine der beiden Dreiecksflächen zu vergessen, würde das Ergebnis verfälschen.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Beim Berechnen einer Oberfläche werden die äußeren bestimmt und . Das Ergebnis steht in einer .
Würfel und Quader berechnen
Ein Würfel besitzt sechs gleich große Quadrate. Hat jedes Quadrat die Seitenlänge $a$, gilt:
$$O = 6a^2$$
Bei $a=4\,cm$ erhältst du:
$$O = 6 · (4\,cm)^2 = 6 · 16\,cm^2 = 96\,cm^2$$
Ein Quader hat sechs Rechtecke. Je zwei gegenüberliegende Flächen sind gleich groß. Für die Kantenlängen $a$, $b$ und $c$ gilt:
$$O = 2ab + 2ac + 2bc$$
Gleichwertig kannst du schreiben:
$$O = 2(ab + ac + bc)$$
Ein Quader hat $a=5\,cm$, $b=2\,cm$ und $c=3\,cm$.
Die drei unterschiedlichen Rechtecke haben die Inhalte:
- $ab=5\,cm · 2\,cm=10\,cm^2$
- $ac=5\,cm · 3\,cm=15\,cm^2$
- $bc=2\,cm · 3\,cm=6\,cm^2$
Jeder Rechtecktyp kommt zweimal vor:
$$O = 2 · 10 + 2 · 15 + 2 · 6 = 62\,cm^2$$
Die Oberfläche des Quaders beträgt $62\,cm^2$.
Gerade Prismen und Zylinder zerlegen
Bei einem geraden Prisma sind Grund- und Deckfläche gleich groß. Die übrigen Flächen bilden zusammen den Mantel.
Mit dem Grundflächeninhalt $G$, dem Umfang der Grundfläche $U_G$ und der Körperhöhe $h$ gilt:
$$M = U_G · h$$
$$O = 2G + M$$
Die Grundfläche eines geraden Dreiecksprismas ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten $3\,cm$, $4\,cm$ und $5\,cm$. Die Prismenlänge beträgt $10\,cm$.
Die Dreiecksfläche ist:
$$G = (3\,cm · 4\,cm) / 2 = 6\,cm^2$$
Der Umfang der Grundfläche beträgt:
$$U_G = 3\,cm + 4\,cm + 5\,cm = 12\,cm$$
Damit ist der Mantel:
$$M = 12\,cm · 10\,cm = 120\,cm^2$$
Für die gesamte Oberfläche folgt:
$$O = 2 · 6\,cm^2 + 120\,cm^2 = 132\,cm^2$$
Beim geschlossenen Zylinder sind Grund- und Deckfläche Kreise. Rollst du den Mantel ab, entsteht ein Rechteck mit der Höhe $h$ und der Breite $2πr$, also dem Kreisumfang.
$$G = πr^2$$
$$M = 2πrh$$
$$O = 2πr^2 + 2πrh = 2πr(r+h)$$
Für einen geschlossenen Zylinder mit $r=2\,cm$ und $h=5\,cm$ gilt:
$$O = 2π · (2\,cm)^2 + 2π · 2\,cm · 5\,cm$$
$$O = 8π\,cm^2 + 20π\,cm^2 = 28π\,cm^2$$
Mit $π≈3{,}14$ ergibt sich ungefähr:
$$O ≈ 88{,}0\,cm^2$$
Offene Körper und Materialbedarf prüfen
Bei einem offenen Körper darfst du eine nicht vorhandene Fläche nicht mitzählen. Häufig ist es sicher, zuerst die vollständige Oberfläche zu berechnen und anschließend die fehlende Fläche abzuziehen.
Eine oben offene quaderförmige Kiste ist $20\,cm$ lang, $10\,cm$ breit und $5\,cm$ hoch.
Die Oberfläche des geschlossenen Quaders wäre:
$$O_{geschlossen}=2 · 20 · 10+2 · 20 · 5+2 · 10 · 5=700\,cm^2$$
Die obere Fläche mit $20\,cm · 10\,cm=200\,cm^2$ fehlt:
$$O_{offen}=700\,cm^2-200\,cm^2=500\,cm^2$$
Die offene Kiste besitzt eine Oberfläche von $500\,cm^2$.
Bei Verpackungen entspricht die mathematische Oberfläche nicht immer dem tatsächlichen Materialbedarf. Klebelaschen, Überlappungen und Verschnitt können zusätzliches Material erfordern. Einen Zuschlag darfst du aber nur berechnen, wenn die Aufgabe dazu konkrete Angaben macht.
Typische Fehler sind:
- eine verdeckte Außenfläche vergessen;
- dieselbe Fläche doppelt zählen;
- bei Quadern die gegenüberliegenden Flächen nicht berücksichtigen;
- bei offenen Körpern eine fehlende Fläche mitrechnen;
- Quadrat- und Kubikeinheiten verwechseln;
- beim Zylinder nur einen statt zwei Kreise zählen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Oberfläche berechnen
- äußere Teilflächen erkennen
- bekannte Flächenformen bestimmen
- gleiche Flächen gruppieren
- Flächeninhalte addieren
- Körperformeln
- Würfel: $6a^2$
- Quader: $2ab+2ac+2bc$
- gerades Prisma: $2G+U_G · h$
- Zylinder: $2πr^2+2πrh$
- Ergebnis prüfen
- alle Außenflächen erfasst
- offene Seiten beachtet
- Quadrateinheit angegeben
- Materialzuschlag nur mit Zusatzangabe
Abschluss-Check
Du bist fertig, wenn du den Körper vollständig zerlegen, jede Teilfläche genau einmal berücksichtigen und dein Ergebnis mit einer Quadrateinheit angeben kannst.