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Zylinderoberfläche berechnen: Formel und Beispiele
Die Oberfläche eines senkrechten Kreiszylinders besteht aus zwei gleich großen Kreisflächen und der Mantelfläche. Deshalb gilt:
$$O=2\pi r^2+2\pi rh$$
Dabei ist $r$ der Radius und $h$ die Höhe. Auf dieser Seite lernst du, die Formel aus dem Zylindernetz herzuleiten, sicher anzuwenden und typische Fehler zu vermeiden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Aus welchen Flächen besteht die Oberfläche?
Stell dir eine geschlossene Getränkedose vor. Ihre Außenfläche setzt sich aus drei Teilen zusammen:
- der kreisförmigen Grundfläche unten,
- der gleich großen Deckfläche oben,
- der gebogenen Mantelfläche dazwischen.
Grund- und Deckfläche sind gleich groß. Für eine Kreisfläche gilt:
$$G=\pi r^2$$
Rollst du den Mantel ab, entsteht ein Rechteck. Eine Rechteckseite ist die Zylinderhöhe $h$. Die andere entspricht dem Umfang des Grundkreises:
$$U=2\pi r$$
Zylindernetz
Ein Zylindernetz zeigt die ausgebreitete Oberfläche: zwei gleich große Kreise und ein Rechteck. Das Rechteck ist der abgerollte Mantel.
Wie entsteht die Oberflächenformel?
Eine einzelne Kreisfläche hat den Flächeninhalt $\pi r^2$. Da Grund- und Deckfläche gleich groß sind, ergeben sie zusammen:
$$2G=2\pi r^2$$
Für das Mantelrechteck rechnest du Länge mal Breite. Seine Seiten sind $2\pi r$ und $h$:
$$M=U\cdot h=2\pi r\cdot h=2\pi rh$$
Nun addierst du beide Kreisflächen und den Mantel:
$$O=2G+M$$
$$O=2\pi r^2+2\pi rh$$
Du kannst auch $2\pi r$ ausklammern:
$$O=2\pi r(r+h)$$
Beide Formen liefern dasselbe Ergebnis.
Zweimal Kreis plus Mantel: $O=2\pi r^2+2\pi rh$. Die Formel gilt hier für einen geschlossenen, senkrechten Kreiszylinder.
Wie berechnest du die Oberfläche Schritt für Schritt?
Gegeben sind $r=3\,\mathrm{cm}$ und $h=6\,\mathrm{cm}$.
1. Eine Kreisfläche berechnen
$$G=\pi\cdot(3\,\mathrm{cm})^2=9\pi\,\mathrm{cm}^2\approx28{,}27\,\mathrm{cm}^2$$
2. Mantelfläche berechnen
$$M=2\pi\cdot3\,\mathrm{cm}\cdot6\,\mathrm{cm}=36\pi\,\mathrm{cm}^2\approx113{,}10\,\mathrm{cm}^2$$
3. Zwei Kreisflächen und Mantel addieren
$$O=2G+M$$
$$O=18\pi\,\mathrm{cm}^2+36\pi\,\mathrm{cm}^2=54\pi\,\mathrm{cm}^2$$
$$O\approx169{,}65\,\mathrm{cm}^2$$
Die Oberfläche des Zylinders beträgt ungefähr $169{,}65\,\mathrm{cm}^2$.
Du kannst denselben Rechenweg als Ablauf verwenden:
- Prüfe, ob Radius und Höhe dieselbe Längeneinheit haben.
- Bestimme bei gegebenem Durchmesser zuerst $r=d:2$.
- Berechne $G=\pi r^2$ und $M=2\pi rh$.
- Addiere mit $O=2G+M$.
- Runde erst am Ende und notiere eine Quadrateinheit.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Ist der Durchmesser gegeben, erhältst du den , indem du ihn durch teilst. Die Zylinderoberfläche wird in einer angegeben.
Wie gehst du mit Einheiten und Fehlerquellen um?
Sind $r=40\,\mathrm{mm}$ und $h=2\,\mathrm{cm}$ gegeben, darfst du die Werte nicht sofort gemeinsam einsetzen. Wandle zuerst um:
$$40\,\mathrm{mm}=4\,\mathrm{cm}$$
Dann rechnest du:
$$O=2\pi\cdot(4\,\mathrm{cm})^2+2\pi\cdot4\,\mathrm{cm}\cdot2\,\mathrm{cm}$$
$$O=48\pi\,\mathrm{cm}^2\approx150{,}80\,\mathrm{cm}^2$$
Typische Fehler sind:
- Nur eine Kreisfläche addieren: Ein geschlossener Zylinder hat Grund- und Deckfläche.
- Durchmesser als Radius einsetzen: Es gilt $r=d:2$.
- Den Kreisumfang falsch bilden: Richtig ist $U=2\pi r$, nicht $2\pi r^2$.
- Einheiten mischen: Radius und Höhe müssen vor dem Einsetzen dieselbe Längeneinheit besitzen.
- Eine Längeneinheit angeben: Eine Oberfläche braucht eine Quadrateinheit wie $\mathrm{cm}^2$.
- Zu früh runden: Rechne möglichst mit $\pi$ weiter und runde das Endergebnis.
Die Volumenformel $V=\pi r^2h$ beantwortet eine andere Frage: Sie beschreibt den Rauminhalt. Bei der Oberfläche werden dagegen alle äußeren Flächen addiert.
Kannst du die Formel selbst anwenden?
Ein geschlossener Zylinder hat den Durchmesser $d=10\,\mathrm{cm}$ und die Höhe $h=5\,\mathrm{cm}$. Berechne seine Oberfläche. Gib zuerst den exakten Wert mit $\pi$ und dann einen Näherungswert an.
Überlege vor der Lösung:
- Welcher Radius gehört zum Durchmesser?
- Welche drei Flächen werden addiert?
- Welche Einheit braucht das Ergebnis?
Lösung
Zuerst bestimmst du den Radius:
$$r=10\,\mathrm{cm}:2=5\,\mathrm{cm}$$
Dann setzt du $r=5\,\mathrm{cm}$ und $h=5\,\mathrm{cm}$ ein:
$$O=2\pi\cdot(5\,\mathrm{cm})^2+2\pi\cdot5\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}$$
$$O=50\pi\,\mathrm{cm}^2+50\pi\,\mathrm{cm}^2=100\pi\,\mathrm{cm}^2$$
$$O\approx314{,}16\,\mathrm{cm}^2$$
Die Oberfläche beträgt genau $100\pi\,\mathrm{cm}^2$ und näherungsweise $314{,}16\,\mathrm{cm}^2$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Oberfläche des senkrechten Kreiszylinders
- Grundfläche: $G=\pi r^2$
- Deckfläche: ebenso groß wie die Grundfläche
- Mantel: Rechteck mit $2\pi r$ und $h$
- Gesamtformel: $O=2\pi r^2+2\pi rh$
- Vorbereitung: Einheiten angleichen und gegebenenfalls $r=d:2$
- Kontrolle: Quadrateinheit, drei Teilflächen, erst am Ende runden
Abschluss-Check
Du bist fertig, wenn du erklären kannst, warum der Mantel ein Rechteck mit der Breite $2\pi r$ bildet, und wenn du bei jeder Rechnung Radius, Einheiten und alle drei Teilflächen kontrollierst.