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Zylinder: Aufbau, Volumen und Oberfläche
Ein Zylinder besitzt zwei gleich große, parallele Kreisflächen und einen Mantel. Beim geraden Kreiszylinder berechnest du das Volumen mit $V=\pi r^2h$ und die Oberfläche mit $O=2\pi r^2+2\pi rh$.
Auf dieser Seite lernst du, die Bestandteile und Maße eines Zylinders zu erkennen, die Formeln zu verstehen und sicher anzuwenden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
So erkennst du einen geraden Kreiszylinder
Dosen, Gläser oder gerade Rohre sind oft annähernd zylinderförmig. Im Schulunterricht ist mit einem Zylinder gewöhnlich ein gerader Kreiszylinder gemeint.
Er besteht aus:
- der kreisförmigen Grundfläche,
- der gleich großen Deckfläche,
- der gekrümmten Mantelfläche zwischen beiden Kreisen.
Die Höhe $h$ ist der senkrechte Abstand zwischen Grund- und Deckfläche. Der Radius $r$ reicht vom Mittelpunkt eines Kreises bis zu seinem Rand. Für den Durchmesser $d$ gilt:
$$d=2r$$
Die Zylinderachse ist die Gerade durch die Mittelpunkte von Grund- und Deckfläche.
Gerader Kreiszylinder
Ein gerader Kreiszylinder wird von zwei gleich großen, parallelen Kreisflächen und einer Mantelfläche begrenzt. Seine Achse steht senkrecht auf Grund- und Deckfläche.
Prüfe vor jeder Rechnung, ob ein Radius oder ein Durchmesser gegeben ist. Bei gegebenem Durchmesser rechnest du zuerst $r=d:2$.
Aus dem Mantel wird ein Rechteck
Schneidest du den Mantel eines geraden Kreiszylinders entlang einer Mantellinie auf und rollst ihn ab, entsteht ein Rechteck.
Eine Rechteckseite ist die Zylinderhöhe $h$. Die andere ist genauso lang wie der Umfang des Grundkreises:
$$u=2\pi r=\pi d$$
Deshalb gilt für die Mantelfläche $M$:
$$M=u\cdot h=2\pi rh$$
Ein Zylinder hat $r=4\,\mathrm{cm}$ und $h=7\,\mathrm{cm}$.
Zuerst berechnest du den Kreisumfang:
$$u=2\pi\cdot4\,\mathrm{cm}=8\pi\,\mathrm{cm}$$
Dann multiplizierst du die Länge des abgewickelten Mantels mit seiner Höhe:
$$M=8\pi\,\mathrm{cm}\cdot7\,\mathrm{cm}=56\pi\,\mathrm{cm^2}\approx175{,}9\,\mathrm{cm^2}$$
Das Ergebnis ist eine Fläche und trägt deshalb die Einheit $\mathrm{cm^2}$.
Die rechteckige Mantelabwicklung gilt hier für den geraden Kreiszylinder. Bei einem schiefen Kreiszylinder darfst du nicht einfach ein Parallelogramm als Mantelnetz annehmen.
Volumen bedeutet Grundfläche mal Höhe
Das Volumen gibt an, wie viel Raum der Zylinder einnimmt. Seine kreisförmige Grundfläche wird über die gesamte Höhe fortgeführt.
Für die Grundfläche gilt:
$$G=\pi r^2$$
Mit dem Prinzip „Grundfläche mal Höhe“ erhältst du:
$$V=G\cdot h=\pi r^2h$$
Ein Zylinder hat $r=3\,\mathrm{cm}$ und $h=8\,\mathrm{cm}$.
- Berechne die Grundfläche:
$$G=\pi\cdot(3\,\mathrm{cm})^2=9\pi\,\mathrm{cm^2}$$
- Multipliziere mit der Höhe:
$$V=9\pi\,\mathrm{cm^2}\cdot8\,\mathrm{cm}=72\pi\,\mathrm{cm^3}\approx226{,}2\,\mathrm{cm^3}$$
Die Einheit passt: Fläche mal Länge ergibt Volumen, also $\mathrm{cm^2}\cdot\mathrm{cm}=\mathrm{cm^3}$.
In der Volumenformel wird nur der Radius quadriert: $V=\pi\cdot r^2\cdot h$. Die Höhe wird nicht quadriert.
Die Oberfläche setzt sich aus drei Flächen zusammen
Zur Oberfläche eines geschlossenen Zylinders gehören Grundfläche, Deckfläche und Mantel. Grund- und Deckfläche sind gleich groß.
Daher gilt zunächst:
$$O=2G+M$$
Setzt du $G=\pi r^2$ und $M=2\pi rh$ ein, erhältst du:
$$O=2\pi r^2+2\pi rh$$
Ein geschlossener Zylinder hat $r=2\,\mathrm{cm}$ und $h=5\,\mathrm{cm}$.
Die beiden Kreisflächen ergeben:
$$2G=2\pi\cdot(2\,\mathrm{cm})^2=8\pi\,\mathrm{cm^2}$$
Für den Mantel gilt:
$$M=2\pi\cdot2\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}=20\pi\,\mathrm{cm^2}$$
Damit ist die gesamte Oberfläche:
$$O=8\pi\,\mathrm{cm^2}+20\pi\,\mathrm{cm^2}=28\pi\,\mathrm{cm^2}\approx88{,}0\,\mathrm{cm^2}$$
Beim Volumen rechnest du $G\cdot h$. Bei der Oberfläche addierst du $2G+M$. Verwechsle Rauminhalt und Begrenzungsfläche nicht.
So löst du eine vollständige Aufgabe
Gegeben sind $r=5\,\mathrm{cm}$ und $h=10\,\mathrm{cm}$. Berechne Mantelfläche, Oberfläche und Volumen. Runde auf eine Nachkommastelle.
Gehe in dieser Reihenfolge vor:
- Notiere die gegebenen Größen mit Einheiten.
- Wähle die passende Formel.
- Setze Radius und Höhe ein.
- Rechne zunächst möglichst genau mit $\pi$.
- Runde erst am Ende und prüfe die Einheit.
Deine Rechnung
Berechne die drei gesuchten Größen zunächst selbst.
Lösung
Mantelfläche:
$$M=2\pi\cdot5\,\mathrm{cm}\cdot10\,\mathrm{cm}=100\pi\,\mathrm{cm^2}\approx314{,}2\,\mathrm{cm^2}$$
Oberfläche:
$$O=2\pi\cdot(5\,\mathrm{cm})^2+100\pi\,\mathrm{cm^2}$$
$$O=50\pi\,\mathrm{cm^2}+100\pi\,\mathrm{cm^2}=150\pi\,\mathrm{cm^2}\approx471{,}2\,\mathrm{cm^2}$$
Volumen:
$$V=\pi\cdot(5\,\mathrm{cm})^2\cdot10\,\mathrm{cm}=250\pi\,\mathrm{cm^3}\approx785{,}4\,\mathrm{cm^3}$$
Die Flächenergebnisse tragen $\mathrm{cm^2}$, das Volumen trägt $\mathrm{cm^3}$.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Gerader Kreiszylinder
- Maße: Radius $r$, Durchmesser $d=2r$, Höhe $h$
- Kreisflächen: Grundfläche und Deckfläche mit $G=\pi r^2$
- Mantel: abgewickeltes Rechteck mit $M=2\pi rh$
- Oberfläche: $O=2G+M$
- Volumen: $V=G\cdot h$
- Einheiten: Fläche quadratisch, Volumen kubisch
Abschluss-Check
Du beherrschst den Kern des Themas, wenn du zuerst die Maße klärst, dann zwischen Fläche und Volumen entscheidest und dein Ergebnis mit $\mathrm{cm^2}$ beziehungsweise $\mathrm{cm^3}$ prüfen kannst.