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Volumen eines Prismas berechnen
Das Volumen eines geraden Prismas berechnest du mit Grundfläche mal Prismahöhe:
$$V=G\cdot h_P$$
Dabei ist $G$ der Flächeninhalt der Grundfläche und $h_P$ der senkrechte Abstand zwischen Grund- und Deckfläche. Auf dieser Seite lernst du, beide Größen sicher zu erkennen, passende Einheiten zu verwenden und die Formel auf verschiedene Grundflächen anzuwenden.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Welche Größen brauchst du?
Ein Prisma besitzt zwei parallele, deckungsgleiche Flächen. Eine davon wählst du als Grundfläche, die andere heißt Deckfläche. Bei einem geraden Prisma stehen die verbindenden Seitenkanten senkrecht auf diesen Flächen.
Prismahöhe
Die Prismahöhe $h_P$ ist der senkrechte Abstand zwischen Grund- und Deckfläche. In einer Zeichnung kann sie auch wie die Länge oder Tiefe des Körpers aussehen.
Das Volumen gibt an, wie viel Raum der Körper einnimmt. Du kannst es dir als die Anzahl gleich großer Einheitswürfel vorstellen, die den Körper ausfüllen.
Eine Höhe innerhalb der Grundfläche ist nicht automatisch die Prismahöhe. Beim Dreiecksprisma brauchst du oft zwei verschiedene Höhen: eine Dreieckshöhe für $G$ und die Prismahöhe für $V$.
So berechnest du das Volumen
Gehe immer in drei Schritten vor:
- Grundform erkennen: Ist die Grundfläche zum Beispiel ein Dreieck, Parallelogramm oder Trapez?
- Grundfläche berechnen: Bestimme ihren Flächeninhalt $G$ mit der passenden Formel.
- Mit der Prismahöhe multiplizieren: Setze $G$ und $h_P$ in $V=G\cdot h_P$ ein.
Häufig benötigte Grundflächenformeln sind:
| Grundfläche | Flächeninhalt $G$ |
|---|---|
| Dreieck | $G=\frac{1}{2}g\cdot h_g$ |
| Parallelogramm | $G=a\cdot h_a$ |
| Trapez mit $a\parallel c$ | $G=\frac{1}{2}(a+c)\cdot h_T$ |
In den Formeln stehen $h_g$, $h_a$ und $h_T$ für Höhen innerhalb der Grundfläche. Erst danach verwendest du die Prismahöhe $h_P$.
Beispiel: ein Dreiecksprisma
Gegeben sind:
- Dreiecksseite $a=7\,\mathrm{cm}$,
- zugehörige Dreieckshöhe $h_a=5\,\mathrm{cm}$,
- Prismahöhe $h_P=8\,\mathrm{cm}$.
1. Grundfläche berechnen
Die Grundfläche ist ein Dreieck. Deshalb gilt:
$$G=\frac{1}{2}a\cdot h_a$$
$$G=\frac{1}{2}\cdot7\,\mathrm{cm}\cdot5\,\mathrm{cm}=17{,}5\,\mathrm{cm^2}$$
2. Volumen berechnen
Nun multiplizierst du die Grundfläche mit der Prismahöhe:
$$V=G\cdot h_P$$
$$V=17{,}5\,\mathrm{cm^2}\cdot8\,\mathrm{cm}=140\,\mathrm{cm^3}$$
Das Dreiecksprisma hat ein Volumen von $140\,\mathrm{cm^3}$.
Der entscheidende Gedanke: Die $5\,\mathrm{cm}$ gehören zur Berechnung des Dreiecks. Die $8\,\mathrm{cm}$ geben an, wie weit sich diese Grundfläche durch den Raum erstreckt.
Einheiten und typische Fehler prüfen
Sind alle Längen in Zentimetern angegeben, erhältst du zunächst eine Grundfläche in Quadratzentimetern und danach ein Volumen in Kubikzentimetern:
$$\mathrm{cm^2}\cdot\mathrm{cm}=\mathrm{cm^3}$$
Sprich $\mathrm{cm^3}$ als Kubikzentimeter. Entsprechend gilt $\mathrm{dm^2}\cdot\mathrm{dm}=\mathrm{dm^3}$; $1\,\mathrm{dm^3}$ entspricht $1$ Liter.
Achte vor dem Rechnen auf diese Fehlerquellen:
- Du verwendest eine Flächenformel, die nicht zur Grundform passt.
- Du verwechselst eine Höhe in der Grundfläche mit der Prismahöhe.
- Du setzt eine schräge Strecke ein, obwohl eine senkrechte Höhe benötigt wird.
- Du mischst nicht zusammenpassende Längeneinheiten.
- Du schreibst eine Flächeneinheit wie $\mathrm{cm^2}$ statt einer Volumeneinheit wie $\mathrm{cm^3}$.
Wenn Maße in verschiedenen Einheiten gegeben sind, wandle sie vor der Rechnung in eine gemeinsame Längeneinheit um. Erst dann berechnest du $G$ und $V$.
Üben und übertragen
Ein gerades Prisma hat eine trapezförmige Grundfläche. Gegeben sind die parallelen Seiten $a=5\,\mathrm{cm}$ und $c=11\,\mathrm{cm}$, die Trapezhöhe $h_T=6\,\mathrm{cm}$ und die Prismahöhe $h_P=7\,\mathrm{cm}$.
Berechne zuerst $G$ und anschließend $V$.
Lösung
Für die trapezförmige Grundfläche gilt:
$$G=\frac{1}{2}(a+c)\cdot h_T$$
$$G=\frac{1}{2}(5+11)\,\mathrm{cm}\cdot6\,\mathrm{cm}=48\,\mathrm{cm^2}$$
Danach berechnest du das Volumen:
$$V=48\,\mathrm{cm^2}\cdot7\,\mathrm{cm}=336\,\mathrm{cm^3}$$
Das Prisma hat ein Volumen von $336\,\mathrm{cm^3}$.
Vertiefung: Wie verändert sich das Volumen?
Bleibt $G$ gleich und wird nur die Prismahöhe halbiert, halbiert sich auch das Volumen. Werden alle Längen eines Prismas mit dem Faktor $3$ vergrößert, wächst die Grundfläche auf das $3^2=9$-Fache. Zusammen mit der dreifachen Prismahöhe wird das Volumen $3^3=27$-mal so groß.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Volumen eines geraden Prismas
- Grundfläche erkennen und ihren Flächeninhalt $G$ berechnen
- Prismahöhe $h_P$ als senkrechten Abstand bestimmen
- Mit $V=G\cdot h_P$ rechnen
- Längeneinheiten vor der Rechnung vereinheitlichen
- Ergebnis als Kubikeinheit angeben
- Grundflächenhöhe und Prismahöhe unterscheiden
Abschluss-Check
Kannst du bei einer neuen Aufgabe zuerst die Grundfläche markieren, die beiden möglichen Höhen unterscheiden und die Einheit des Ergebnisses begründen, beherrschst du den zentralen Rechenweg.