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Prisma: Volumen und Oberfläche berechnen
Ein Prisma hat zwei deckungsgleiche, parallele Vielecke als Grund- und Deckfläche. Für sein Volumen gilt immer: Grundfläche mal senkrechte Prismenhöhe. Die einfache Mantelformel $M=U\cdot h$ gilt dagegen nur für gerade Prismen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du ein Prisma?
Stell dir vor, du verschiebst ein Vieleck gerade oder schräg im Raum. Das ursprüngliche Vieleck und seine verschobene Kopie bilden die beiden gegenüberliegenden Flächen des Prismas.
Prisma
Ein Prisma ist ein Körper mit zwei deckungsgleichen und parallelen Vielecken. Diese heißen Grundfläche und Deckfläche. Die übrigen Seitenflächen bilden zusammen den Mantel.
Grund- und Deckfläche haben dieselbe Form und Größe. Die entsprechenden Eckpunkte sind durch gleich lange, parallele Seitenkanten verbunden.
Die Grundfläche kann zum Beispiel ein Dreieck, Viereck oder Sechseck sein. Ein Quader und ein Würfel sind deshalb besondere Prismen.
Bei einer $n$-eckigen Grundfläche besitzt das Prisma:
- $2n$ Ecken,
- $3n$ Kanten,
- $n+2$ Flächen.
Ein Dreiecksprisma hat daher 6 Ecken, 9 Kanten und 5 Flächen.
Gerade oder schief – welche Höhe zählt?
Bei einem geraden Prisma stehen die Seitenkanten senkrecht auf Grund- und Deckfläche. Seine Mantelflächen sind Rechtecke.
Bei einem schiefen Prisma verlaufen die Seitenkanten schräg. Seine Mantelflächen sind im Allgemeinen Parallelogramme.
Prismenhöhe
Die Prismenhöhe $h$ ist der senkrechte Abstand zwischen Grund- und Deckfläche. Nur beim geraden Prisma ist sie zugleich die Länge einer Seitenkante.
Schräg bedeutet nicht „kein Prisma“. Prüfe zuerst Grund- und Deckfläche. Verwende bei einem schiefen Prisma für $h$ niemals ungeprüft die schräge Seitenkante.
Wie berechnest du Grundfläche und Volumen?
Zuerst erkennst du die Form der Grundfläche. Dann verwendest du die passende Flächenformel. Eine einzige Grundflächenformel für alle Prismen gibt es nicht.
Für jedes gerade oder schiefe Prisma gilt:
$$V=G\cdot h$$
Dabei bezeichnet $G$ den Flächeninhalt der Grundfläche und $h$ die senkrechte Prismenhöhe.
Ein Dreiecksprisma hat eine Dreiecksgrundseite von $6\,\mathrm{cm}$, eine zugehörige Dreieckshöhe von $4\,\mathrm{cm}$ und eine Prismenhöhe von $12\,\mathrm{cm}$.
1. Grundfläche berechnen:
$$G=\frac{1}{2}\cdot6\,\mathrm{cm}\cdot4\,\mathrm{cm}=12\,\mathrm{cm^2}$$
2. Volumen berechnen:
$$V=12\,\mathrm{cm^2}\cdot12\,\mathrm{cm}=144\,\mathrm{cm^3}$$
Das Prisma hat ein Volumen von $144\,\mathrm{cm^3}$. Die Dreieckshöhe wird nur für $G$ gebraucht; die Prismenhöhe führt anschließend von der Fläche zum Volumen.
Fläche mal Länge ergibt Volumen: $\mathrm{cm^2}\cdot\mathrm{cm}=\mathrm{cm^3}$.
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Für das Volumen eines Prismas berechnest du zuerst die . Danach multiplizierst du mit der . Das Ergebnis trägt eine .
Wie berechnest du Mantel und Oberfläche?
Klappst du den Mantel eines geraden Prismas auf, entsteht ein Rechteck. Seine Seitenlängen sind der Umfang $U$ der Grundfläche und die Prismenhöhe $h$.
Für ein gerades Prisma gilt:
$$M=U\cdot h$$
Die gesamte Oberfläche besteht aus Grundfläche, Deckfläche und Mantel:
$$O=2G+M$$
Bei einem schiefen Prisma bleibt $V=G\cdot h$ gültig. Die Formel $M=U\cdot h$ darfst du dort jedoch nicht verwenden, weil die Mantelflächen keine Rechtecke mit der Höhe $h$ als Seitenlänge sein müssen.
Die Grundfläche eines geraden Prismas ist ein gleichschenkliges Dreieck. Seine Seiten sind $8\,\mathrm{cm}$, $5\,\mathrm{cm}$ und $5\,\mathrm{cm}$ lang. Die Höhe zur $8\,\mathrm{cm}$ langen Seite beträgt $3\,\mathrm{cm}$. Die Prismenhöhe ist $10\,\mathrm{cm}$.
1. Grundfläche:
$$G=\frac{1}{2}\cdot8\,\mathrm{cm}\cdot3\,\mathrm{cm}=12\,\mathrm{cm^2}$$
2. Umfang der Grundfläche:
$$U=8\,\mathrm{cm}+5\,\mathrm{cm}+5\,\mathrm{cm}=18\,\mathrm{cm}$$
3. Mantel:
$$M=18\,\mathrm{cm}\cdot10\,\mathrm{cm}=180\,\mathrm{cm^2}$$
4. Oberfläche:
$$O=2\cdot12\,\mathrm{cm^2}+180\,\mathrm{cm^2}=204\,\mathrm{cm^2}$$
Die Oberfläche beträgt $204\,\mathrm{cm^2}$.
Kannst du das Verfahren selbst anwenden?
Ein gerades Dreiecksprisma hat ein rechtwinkliges Dreieck als Grundfläche. Die Katheten sind $6\,\mathrm{cm}$ und $8\,\mathrm{cm}$ lang, die dritte Seite ist $10\,\mathrm{cm}$ lang. Die Prismenhöhe beträgt $5\,\mathrm{cm}$.
Berechne Grundfläche, Volumen, Mantel und Oberfläche.
Typische Fehler kannst du mit drei Fragen vermeiden:
- Habe ich die richtige Flächenformel für $G$ verwendet?
- Ist $h$ wirklich der senkrechte Abstand der Grundflächen?
- Trägt das Ergebnis eine Flächen- oder eine Kubikeinheit?
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Prisma
- Erkennen: deckungsgleiche und parallele Grundflächen
- Unterscheiden: gerade oder schiefe Seitenkanten
- Höhe: senkrechter Abstand der Grundflächen
- Volumen: $V=G\cdot h$
- Gerader Mantel: $M=U\cdot h$
- Oberfläche: $O=2G+M$
- Prüfen: Formel, Höhe und Einheit kontrollieren
Abschluss-Check
Du beherrschst das Thema, wenn du zuerst die Grundfläche erkennst, die senkrechte Höhe auswählst und danach passend entscheidest: $V=G\cdot h$, beim geraden Prisma $M=U\cdot h$ und schließlich $O=2G+M$.