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Höhensatz des Euklid: Längen berechnen und die Formel verstehen
Der Höhensatz des Euklid gilt in einem rechtwinkligen Dreieck: Die Höhe zur Hypotenuse erfüllt $h^2 = p \cdot q$. Du kannst damit die Höhe oder einen Hypotenusenabschnitt berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Voraussetzungen und Bezeichnungen
Der Höhensatz gilt nur in einem rechtwinkligen Dreieck. Ein rechter Winkel ist ein Winkel von $90^\circ$. Die längste Seite gegenüber diesem Winkel heißt Hypotenuse $c$. Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten.
Zeichnest du vom Eckpunkt des rechten Winkels eine senkrechte Strecke zur Hypotenuse, erhältst du die Höhe $h$. Diese senkrechte Verbindung heißt auch Lot. Ihr Endpunkt auf der Hypotenuse, der Fußpunkt, teilt die Hypotenuse in die Abschnitte $p$ und $q$. Alle hier betrachteten Streckenlängen sind positiv.
$$c = p + q$$
Höhe zur Hypotenuse
Die Höhe $h$ steht senkrecht auf der Hypotenuse und beginnt am Scheitel des rechten Winkels. Nur diese Höhe gehört zum Höhensatz.
Die Formel als Strecken- und Flächenaussage
Der Höhensatz lautet:
$$h^2 = p \cdot q$$
Als Streckenaussage bedeutet das: Das Quadrat der Höhe ist das Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte.
Als Flächenaussage bedeutet es: Ein Quadrat mit Seitenlänge $h$ hat denselben Flächeninhalt wie ein Rechteck mit den Seitenlängen $p$ und $q$.
Für $h=4\,\mathrm{cm}$, $p=2\,\mathrm{cm}$ und $q=8\,\mathrm{cm}$ gilt:
$$h^2=(4\,\mathrm{cm})^2=16\,\mathrm{cm}^2$$
$$p \cdot q=(2\,\mathrm{cm})(8\,\mathrm{cm})=16\,\mathrm{cm}^2$$
Beide Flächeninhalte sind gleich. Die Längen erfüllen daher den Höhensatz.
Beim Höhensatz werden die beiden Abschnitte der Hypotenuse miteinander multipliziert. Die beiden Katheten gehören nicht in die Formel.
Die Höhe berechnen
Mit der Quadratwurzel machst du das Quadrieren einer positiven Zahl rückgängig: $\sqrt{x}$ ist für $x>0$ die positive Zahl, deren Quadrat $x$ ergibt. Sind $p$ und $q$ gegeben, gehst du in vier Schritten vor:
- Schreibe $h^2=p \cdot q$ auf.
- Setze $p$ und $q$ mit ihren Einheiten ein.
- Ziehe die Quadratwurzel.
- Verwende die positive Wurzel, weil eine Länge nicht negativ ist.
Gegeben sind $p=2\,\mathrm{cm}$ und $q=4\,\mathrm{cm}$. Gesucht ist $h$.
$$h^2=p \cdot q$$
$$h^2=(2\,\mathrm{cm})(4\,\mathrm{cm})=8\,\mathrm{cm}^2$$
$$h=\sqrt{8\,\mathrm{cm}^2}=\sqrt{8}\,\mathrm{cm}\approx2{,}83\,\mathrm{cm}$$
Die Höhe ist ungefähr $2{,}83\,\mathrm{cm}$ lang.
Einen Abschnitt oder die Hypotenuse berechnen
Ist ein Hypotenusenabschnitt gesucht, formst du $h^2=pq$ um. Teile beide Seiten durch $p$, um $q=h^2/p$ zu erhalten. Teilst du stattdessen durch $q$, folgt $p=h^2/q$. Das ist erlaubt, weil beide Abschnitte länger als null sind.
Gegeben sind $h=12\,\mathrm{cm}$ und $p=3\,\mathrm{cm}$. Gesucht ist $q$.
$$(12\,\mathrm{cm})^2=(3\,\mathrm{cm}) \cdot q$$
$$144\,\mathrm{cm}^2=(3\,\mathrm{cm})q$$
$$q=\frac{144\,\mathrm{cm}^2}{3\,\mathrm{cm}}=48\,\mathrm{cm}$$
Kontrolle:
$$(12\,\mathrm{cm})^2=(3\,\mathrm{cm})(48\,\mathrm{cm})=144\,\mathrm{cm}^2$$
Möchtest du anschließend die ganze Hypotenuse bestimmen, addierst du die Abschnitte: $c=p+q$.
Für $h=9\,\mathrm{cm}$ und $q=4\,\mathrm{cm}$ gilt:
$$p=\frac{h^2}{q}=\frac{81\,\mathrm{cm}^2}{4\,\mathrm{cm}}=20{,}25\,\mathrm{cm}$$
$$c=p+q=20{,}25\,\mathrm{cm}+4\,\mathrm{cm}=24{,}25\,\mathrm{cm}$$
Die Hypotenuse ist $24{,}25\,\mathrm{cm}$ lang.
Achte beim Umformen auf die Einheiten: In $h^2=pq$ stehen auf beiden Seiten Flächeneinheiten. Nach der Division bleibt für $p$ oder $q$ wieder eine Längeneinheit übrig.
Warum der Höhensatz gilt
Die Höhe zerlegt das große rechtwinklige Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke. Auf alle drei Dreiecke kannst du den Satz des Pythagoras anwenden.
Zur Erinnerung: Nach dem Satz des Pythagoras ist in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat.
Nenne die Katheten des großen Dreiecks $a$ und $b$. Ordne $p$ der Seite $a$ und $q$ der Seite $b$ zu: Das erste kleine Dreieck hat die Katheten $h$ und $p$ sowie die Hypotenuse $a$. Im zweiten sind $h$ und $q$ die Katheten und $b$ die Hypotenuse. Daher gilt:
$$h^2+p^2=a^2$$
$$h^2+q^2=b^2$$
$$a^2+b^2=c^2$$
Außerdem ist $c=p+q$. Setze die ersten beiden Gleichungen und $c=p+q$ in die dritte ein:
$$h^2+p^2+h^2+q^2=(p+q)^2$$
Nutze $(p+q)^2=p^2+2pq+q^2$:
$$2h^2+p^2+q^2=p^2+2pq+q^2$$
Ziehe $p^2$ und $q^2$ auf beiden Seiten ab und teile durch $2$:
$$2h^2=2pq$$
$$h^2=pq$$
Damit ist der Höhensatz bewiesen.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Höhensatz $h^2=pq$
- gilt im rechtwinkligen Dreieck
- verwendet die Höhe zur Hypotenuse
- verbindet $h$, $p$ und $q$
- deutet gleiche Flächeninhalte
- ermöglicht Streckenberechnungen
- folgt aus dem Satz des Pythagoras