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Im rechtwinkligen Dreieck verstecken sich mehrere ähnliche Dreiecke. Der Höhensatz nutzt genau diese Struktur, um die Höhe auf der Hypotenuse zu berechnen.
- Ich kann die Teile p, q und h im rechtwinkligen Dreieck benennen.
- Ich kann den Höhensatz anwenden.
- Ich kann fehlende Strecken berechnen.
- Ich kann mit einer Skizze prüfen, ob der Satz passt.
Grundidee
Ziehst du vom rechten Winkel die Höhe auf die Hypotenuse, wird die Hypotenuse in zwei Stücke geteilt. Diese Stücke heißen Hypotenusenabschnitte.
Höhensatz des Euklid
Im rechtwinkligen Dreieck gilt für die Höhe \(h\) auf die Hypotenuse und die Abschnitte \(p\) und \(q\): \(h^2=p\cdot q\).
Der Satz gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken und nur für die Höhe auf die Hypotenuse. Er entsteht durch ähnliche Dreiecke: Die Höhe ist geometrisch das Mittel zwischen den beiden Abschnitten.
Gegeben sind \(p=4\) cm und \(q=9\) cm.
\(h^2=4\cdot9=36\). Also \(h=6\) cm.
Die Höhe ist 6 cm lang.
Höhensatz: Höhe zum Quadrat = Abschnitt mal Abschnitt.
Vorgehen
Skizziere zuerst das rechtwinklige Dreieck. Beschrifte die geteilte Hypotenuse mit \(p\) und \(q\). Setze erst dann in \(h^2=pq\) ein.
Gegeben: \(h=5\) cm und \(p=2\) cm. Gesucht ist \(q\).
\(25=2q\). \(q=12{,}5\) cm.
Probe: \(2\cdot12{,}5=25\).
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Prüfungsmodus
Verwechsle Höhensatz und Kathetensatz nicht. Der Höhensatz enthält \(h^2\), nicht \(a^2\) oder \(b^2\).
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Alles auf einen Blick
Die wichtigsten Wörter und Entscheidungen solltest du schnell wiedererkennen können.
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Abschluss-Check
Nutze diese Fragen erst, wenn du die Beispiele darüber verstanden hast. Sie mischen Rechnen, Begründen und Entscheiden.
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Zusammenfassung
Der Höhensatz verbindet im rechtwinkligen Dreieck die Höhe auf die Hypotenuse mit den beiden Hypotenusenabschnitten: \(h^2=pq\).