Mit Google fortfahren
Pythagoras-Rechner: Fehlende Seite berechnen
Kennst du in einem rechtwinkligen Dreieck zwei Seiten, kannst du die dritte mit $a^2+b^2=c^2$ berechnen. Entscheidend ist zuerst: Suchst du die Hypotenuse oder eine Kathete? Danach setzt du ein, ziehst die Quadratwurzel und prüfst dein Ergebnis.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Zuerst die Seiten richtig zuordnen
Der Satz des Pythagoras gilt in dieser Form nur für ein rechtwinkliges Dreieck, also für ein Dreieck mit einem Winkel von $90^\circ$.
Hypotenuse und Katheten
Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie ist die längste Seite. Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten.
Liegt der rechte Winkel bei $C$, dann ist $c$ die Hypotenuse. Die Seiten $a$ und $b$ sind die Katheten. Für genau diese Zuordnung gilt:
$$a^2+b^2=c^2$$
Die Quadrate $a^2$ und $b^2$ kannst du auch als Flächen der Quadrate über den Katheten verstehen. Zusammen sind sie so groß wie das Quadrat $c^2$ über der Hypotenuse.
Der Buchstabe $c$ ist nicht automatisch die Hypotenuse. Er ist es hier, weil der rechte Winkel bei $C$ liegt. Suche immer zuerst die Seite gegenüber dem rechten Winkel.
Dann die passende Formel wählen
Ein Pythagoras-Rechner braucht zwei bekannte Seiten. Welche Umformung du verwendest, hängt von der gesuchten Seite ab.
- Markiere den rechten Winkel.
- Bestimme die Hypotenuse.
- Prüfe, welche zwei Seiten bekannt sind.
- Wähle die passende Formel.
- Setze Werte mit derselben Längeneinheit ein.
- Ziehe die positive Quadratwurzel, weil eine Seitenlänge nicht negativ ist.
Hypotenuse gesucht:
$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$
Kathete gesucht:
$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$
oder
$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$
Wähle in jeder Lücke die passende Form und prüfe anschließend deine Antworten.
Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel . Suchst du die Hypotenuse, werden die Kathetenquadrate . Suchst du eine Kathete, wird ihr bekanntes Kathetenquadrat vom Hypotenusenquadrat .
Die Hypotenuse berechnen
Gegeben sind beide Katheten. Weil die Hypotenuse gesucht ist, addierst du die Kathetenquadrate.
Gegeben: $a=5\,\text{cm}$ und $b=3\,\text{cm}$. Gesucht: $c$.
$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$
$$c=\sqrt{(5\,\text{cm})^2+(3\,\text{cm})^2}$$
$$c=\sqrt{25\,\text{cm}^2+9\,\text{cm}^2}$$
$$c=\sqrt{34\,\text{cm}^2}\approx 5{,}83\,\text{cm}$$
Die Hypotenuse ist etwa $5{,}83\,\text{cm}$ lang. Das ist plausibel, denn sie ist länger als jede der beiden Katheten.
Eine Kathete berechnen
Gegeben sind die Hypotenuse und eine Kathete. Dann stellst du die Grundformel um: Du ziehst das bekannte Kathetenquadrat vom Hypotenusenquadrat ab.
Gegeben: $b=3\,\text{cm}$ und $c=5\,\text{cm}$. Gesucht: $a$.
$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$
$$a=\sqrt{(5\,\text{cm})^2-(3\,\text{cm})^2}$$
$$a=\sqrt{25\,\text{cm}^2-9\,\text{cm}^2}$$
$$a=\sqrt{16\,\text{cm}^2}=4\,\text{cm}$$
Die Kathete $a$ ist $4\,\text{cm}$ lang. Das Ergebnis ist kleiner als die Hypotenuse $c=5\,\text{cm}$ und damit plausibel.
Bei einer fehlenden Kathete steht unter der Wurzel immer Hypotenusenquadrat minus Kathetenquadrat. Die Hypotenuse liefert als längste Seite das größere Quadrat.
Den Rechner auf Anwendungen übertragen
Eine Rechteckdiagonale teilt ein Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Rechteckseiten sind die Katheten, die Diagonale ist die Hypotenuse.
Ein Rechteck ist $6\,\text{cm}$ breit und $8\,\text{cm}$ lang. Für die Diagonale $d$ gilt:
$$d=\sqrt{(6\,\text{cm})^2+(8\,\text{cm})^2}$$
$$d=\sqrt{36\,\text{cm}^2+64\,\text{cm}^2}=\sqrt{100\,\text{cm}^2}=10\,\text{cm}$$
Die Diagonale ist $10\,\text{cm}$ lang. Sie ist länger als beide Rechteckseiten; das Ergebnis passt zur Zeichnungssituation.
Nicht jede Wurzel ergibt eine ganze Zahl. Runde dann erst das Endergebnis auf die verlangte Anzahl von Nachkommastellen. So vermeidest du, dass gerundete Zwischenwerte den Schlusswert unnötig verändern.
Typische Rechnerfehler vermeiden
Prüfe vor dem Bestätigen deiner Eingabe vier Punkte:
- Rechter Winkel: Ohne rechten Winkel darfst du die Formel nicht in dieser Form verwenden.
- Seitenrolle: Die Hypotenuse liegt gegenüber dem rechten Winkel und ist die längste Seite.
- Wurzel: $a^2+b^2$ ist zunächst das Quadrat der gesuchten Länge. Die Länge erhältst du erst durch die Quadratwurzel.
- Einheit: Quadrierte Zentimeter werden nach dem Wurzelziehen wieder zu Zentimetern.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Pythagoras-Rechner
- gilt nur im rechtwinkligen Dreieck
- ordnet Hypotenuse und Katheten zuerst zu
- addiert Quadrate bei gesuchter Hypotenuse
- subtrahiert Quadrate bei gesuchter Kathete
- zieht für die Seitenlänge die positive Wurzel
- prüft Einheit und Plausibilität
Abschluss-Check
Du bist fertig, wenn du vor jeder Rechnung sicher sagen kannst: Welches ist die Hypotenuse, welche Seite fehlt und muss ich Quadrate addieren oder subtrahieren?