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Gleichschenkliges Dreieck: Winkel, Höhe und Fläche
Ein gleichschenkliges Dreieck hat mindestens zwei gleich lange Seiten. Dadurch sind auch zwei Winkel gleich groß, und eine Symmetrieachse teilt das Dreieck in zwei passende rechtwinklige Dreiecke. Hier lernst du, seine Teile zu benennen sowie Winkel, Umfang, Höhe und Fläche zu berechnen.
Hake ab, was du schon kannst — und komm am Ende hierher zurück!
Woran erkennst du ein gleichschenkliges Dreieck?
Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel. Die dritte Seite heißt Basis. Der Eckpunkt gegenüber der Basis ist die Spitze.
Gleichschenkliges Dreieck
Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn mindestens zwei Seiten gleich lang sind. Sind alle drei Seiten gleich lang, ist es zugleich gleichseitig und damit ein besonderer Fall des gleichschenkligen Dreiecks.
Den gleich langen Schenkeln liegen zwei gleich große Winkel gegenüber. Sie liegen an der Basis und heißen Basiswinkel.
In einem Dreieck gilt $a=b=5\,\mathrm{cm}$ und $c=6\,\mathrm{cm}$. Die Seiten $a$ und $b$ sind die Schenkel. Die Seite $c$ ist die Basis. Die beiden Winkel an $c$ sind die gleich großen Basiswinkel.
Wie berechnest du die Winkel?
In jedem Dreieck beträgt die Summe der Innenwinkel $180^\circ$. Nenne die beiden gleichen Basiswinkel $\alpha$ und $\beta$ und den Spitzenwinkel $\gamma$. Dann gilt:
$$\alpha=\beta$$
$$2\alpha+\gamma=180^\circ$$
Kennst du den Spitzenwinkel, verteilst du den Rest gleichmäßig auf die beiden Basiswinkel:
$$\alpha=\beta=\frac{180^\circ-\gamma}{2}$$
Gegeben ist $\gamma=40^\circ$.
- Ziehe den Spitzenwinkel von $180^\circ$ ab: $180^\circ-40^\circ=140^\circ$.
- Teile den Rest durch zwei: $140^\circ:2=70^\circ$.
Also gilt $\alpha=\beta=70^\circ$. Die Probe lautet $70^\circ+70^\circ+40^\circ=180^\circ$.
Gleiche Schenkel liegen gleichen Winkeln gegenüber. Umgekehrt gilt ebenfalls: Sind zwei Winkel eines Dreiecks gleich groß, dann sind auch die gegenüberliegenden Seiten gleich lang.
Was bewirkt die Symmetrieachse?
Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch: Eine Spiegelung an seiner Symmetrieachse bildet die linke Hälfte auf die rechte ab. Die Achse verläuft durch die Spitze und die Mitte der Basis.
Diese Linie ist zugleich die Höhe $h_c$ zur Basis $c$. Sie steht senkrecht auf der Basis, halbiert die Basis und teilt das Dreieck in zwei kongruente, also deckungsgleiche, rechtwinklige Dreiecke.
In jedem Teildreieck gilt:
- Hypotenuse: $a$
- eine Kathete: $c/2$
- andere Kathete: $h_c$
Mit dem Satz des Pythagoras folgt:
$$h_c=\sqrt{a^2-\frac{c^2}{4}}$$
Für $a=b=5\,\mathrm{cm}$ und $c=6\,\mathrm{cm}$ ist die halbe Basis $3\,\mathrm{cm}$.
$$h_c=\sqrt{(5\,\mathrm{cm})^2-(3\,\mathrm{cm})^2}=\sqrt{16\,\mathrm{cm}^2}=4\,\mathrm{cm}$$
Die Höhe ist plausibel: Zusammen mit $3\,\mathrm{cm}$ bildet sie ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $5\,\mathrm{cm}$.
Wie berechnest du Umfang und Fläche?
Für den Umfang addierst du alle Seiten. Weil beide Schenkel die Länge $a$ haben, gilt:
$$U=2a+c$$
Für den Flächeninhalt verwendest du die Basis $c$ und die zugehörige Höhe $h_c$:
$$A=\frac{c\cdot h_c}{2}$$
Für $a=b=5\,\mathrm{cm}$, $c=6\,\mathrm{cm}$ und $h_c=4\,\mathrm{cm}$ gilt:
$$U=2\cdot5\,\mathrm{cm}+6\,\mathrm{cm}=16\,\mathrm{cm}$$
$$A=\frac{6\,\mathrm{cm}\cdot4\,\mathrm{cm}}{2}=12\,\mathrm{cm}^2$$
Der Umfang hat die Einheit Zentimeter. Der Flächeninhalt hat die Einheit Quadratzentimeter.
Beim Umfang addierst du Längen. Bei der Fläche multiplizierst du Grundseite und zugehörige Höhe und halbierst das Produkt.
Kannst du den passenden Rechenweg wählen?
Gehe in dieser Reihenfolge vor:
- Markiere Schenkel und Basis.
- Schreibe die gegebenen Größen mit Einheiten auf.
- Wähle die Beziehung für Winkel, Umfang, Höhe oder Fläche.
- Setze die Werte ein und rechne.
- Prüfe Winkel, Einheit und Plausibilität.
Karteikasten
Überlege zuerst selbst und drehe die Karte anschließend zum Prüfen um.
Alles auf einen Blick
- Gleichschenkliges Dreieck
- Erkennen: mindestens zwei gleich lange Seiten
- Benennen: Schenkel, Basis, Spitze, Basiswinkel
- Winkel: Basiswinkel gleich, Winkelsumme 180°
- Symmetrie: Höhe halbiert die Basis
- Berechnen: Umfang, Höhe und Fläche
Abschluss-Check
Wenn du jede Aufgabe begründen kannst, hast du die entscheidenden Beziehungen verstanden: gleiche Schenkel, gleiche Basiswinkel, Symmetrie und die passenden Formeln.